Hölder-Mittel

Hölder-Mittel

In der Mathematik ist das Hölder-Mittel oder der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) (engl. u.A. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerte Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das p-te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent p sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als "the" generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt Hp wird auch Mp(x), mp(x) oder μp(x) geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters p.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Für eine reelle Zahl p\neq 0 wird das Hölder-Mittel der Zahlen x_1,\ldots,x_n\geq 0 zur Stufe p definiert als

M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p} = \sqrt[p]{\frac{x_1^p+x_2^p+\ldots+x_n^p}n}.

Letzterer Ausdruck gilt natürlich nur für p\in\R^+.

Eine dazu passende Definition für p = 0 ist

M_0(x_1,\ldots,x_n):=\lim_{s\to 0}M_s(x_1,\ldots,x_n).

Eigenschaften

  • Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich x_1\ldots,x_n, das heißt
M_p(\alpha\, x_1,\ldots,\alpha\, x_n)=\alpha\cdot M_p(x_1,\ldots,x_n)
  • Außerdem gilt
M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) = M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}), M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}), \dots, M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))
  • Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist
p<q \quad \Rightarrow \quad M_p(x_1,\ldots,x_n)\le M_q(x_1,\ldots,x_n)
Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte
\min(x_1,\ldots,x_n)\le\bar x_{\mathrm{harm}}\le\bar x_{\mathrm{geom}}\le\bar x_{\mathrm{arithm}}\le\bar x_{\mathrm{quadr}}\le\max(x_1,\ldots,x_n)
  • Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten mp um Null recht einfach in Beziehung:
\bar{x}(p)=\sqrt[p]{m_p}

Spezialfälle

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters p ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

\lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\} Minimum
M_{-1}(x_1,\dots,x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}} Harmonisches Mittel
M_0(x_1,\dots,x_n) =\sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n} Geometrisches Mittel als Grenzwert für p → 0
M_1(x_1,\dots,x_n) =\frac{x_1 + \dots + x_n}{n} Arithmetisches Mittel
M_2(x_1,\dots,x_n) =\sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}} Quadratisches Mittel
M_3(x_1,\dots,x_n) =\sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \dots + x_n^3}{n}} Kubisches Mittel
\lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) =\max \{x_1,\dots,x_n\} Maximum

Weitere Verallgemeinerungen

Gewichtetes Hölder-Mittel

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein Gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten \omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n mit \omega_1+\omega_2+\ldots+\omega_n=1 definieren als

{M_\omega}^p=\left(\omega_1\cdot x_1^p+\omega_2\cdot x_2^p+\ldots+\omega_n\cdot x_n^p\right)^{1/p},

wobei für das "normale" Hölder-Mittel \omega_1=\omega_2=\ldots=\omega_n=\tfrac1n verwendet wird.

f-Mittel

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

 M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}
\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right)

Dabei ist f eine Funktion von x; das Hölder-Mittel verwendet \, f(x)=x^p.

Siehe auch

Literatur

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Hölder — ist der Familienname folgender Personen: Alfred von Hölder (1835–1915), Kommerzialrat, Hof und Universitätsbuchhändler Eduard Hölder (1847–1911), deutscher Jurist Egon Hölder (1927–2007), Präsident des Statistischen Bundesamtes Ernst Hölder… …   Deutsch Wikipedia

  • Hölder'sches Mittel — Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter (Überbegriff Parameter (Statistik)), also ein aggregierender… …   Deutsch Wikipedia

  • Gewichtetes Mittel — Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter (Überbegriff Parameter (Statistik)), also ein aggregierender… …   Deutsch Wikipedia

  • Gewogenes arithmetisches Mittel — Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter (Überbegriff Parameter (Statistik)), also ein aggregierender… …   Deutsch Wikipedia

  • Höldersches Mittel — Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter (Überbegriff Parameter (Statistik)), also ein aggregierender… …   Deutsch Wikipedia

  • Winsorisiertes Mittel — Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. Lageparameter (Überbegriff Parameter (Statistik)), also ein aggregierender… …   Deutsch Wikipedia

  • Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel — In der Mathematik besagt die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, dass das arithmetische Mittel mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist. Diese Ungleichung wurde vermutlich erstmals von Augustin Louis Cauchy 1821… …   Deutsch Wikipedia

  • Stolarsky-Mittel — In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das Stolarsky Mittel ein von Kenneth B. Stolarsky[1] eingeführter Mittelwert, der das logarithmische Mittel verallgemeinert. Für zwei Zahlen x,y und einem Parameter p ist das Stolarsky… …   Deutsch Wikipedia

  • Kubisches Mittel — Das zu den Mittelwerten gehörige kubische Mittel von n Zahlenwerten xi ist definiert als Es wird zum Beispiel in der Lebensdauervorhersage von Maschinenteilen eingesetzt, um das auf das Bauteil einwirkende Lastkollektiv in einer Kennzahl zu… …   Deutsch Wikipedia

  • Eric Holder — (2009) Eric Himpton Holder, Jr. (* 21. Januar 1951 in New York City) ist ein US amerikanischer Jurist und Politiker (Demokratische Partei). Am 18. November 2008 wurde er von US Präsident Barack Obama als United States Att …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”