Stolarsky-Mittel

In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das Stolarsky-Mittel ein von Kenneth B. Stolarsky^[1] eingeführter Mittelwert, der das logarithmische Mittel verallgemeinert.

Für zwei Zahlen x,y und einem Parameter p ist das Stolarsky-Mittel definiert als

$S_p(x,y)\,=\,\lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)} \left({\frac{\xi^p-\eta^p}{p (\xi-\eta)}}\right)^{1\over p-1} \,=\, \begin{cases} x & \mbox{falls }x=y \\ \left({\frac{x^p-y^p}{p (x-y)}}\right)^{1\over p-1} & \mbox{sonst} \end{cases}$^[2][3]

Dabei ist der Grenzwert über alle Paare (ξ,η) mit $\xi \not= \eta$ zu bilden. Im Falle x = y ist der Grenzwert die ${1\over p-1}$-te Potenz des Differentialquotienten der Funktion $x\mapsto \frac{x^p}{p}$ und stimmt daher tatsächlich, wie angegeben, mit x überein.

Spezialfälle

Das Stolarsky-Mittel hat folgende Spezialfälle:

$S_{-\infty}(x,y)$	$\, =\text{min}\{x,y\}$	Minimum (Grenzwert!)
$\, S_{-1}(x,y)$	$=\sqrt{xy}$	Geometrisches Mittel
$\, S_0(x,y)$	$=\frac{x-y}{\log x-\log y}$	Logarithmisches Mittel (Grenzwert!)
$S_\frac12(x,y)$	$=\left(\frac{\sqrt x+\sqrt y}2\right)^2$	Hölder-Mittel mit 1/2
$\, S_1(x,y)$	$=\frac1e\left(\frac{y^y}{x^x}\right)^\frac1{y-x}$	identric mean[4] (Grenzwert!)
$\, S_2(x,y)$	$=\frac{x+y}2$	Arithmetisches Mittel
$S_\infty (x,y)$	$=\, \text{max}\{x,y\}$	Maximum (Grenzwert!)

Gewichtetes Stolarsky-Mittel

Das Stolarsky-Mittel lässt sich auch gewichten:

$S_{\omega_1,\omega_2}(x,y)=\left(\frac{\omega_2\cdot(x^{\omega_1}-y^{\omega_1})}{\omega_1\cdot(x^{\omega_2}-y^{\omega_2})}\right)^\frac1{\omega_1-\omega_2}$^[5]

Referenzen

1. ↑ Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, März, 1975, S. 87-92
2. ↑ Eric W. Weisstein: Stolarsky mean. In: MathWorld. (englisch)
3. ↑ Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0
4. ↑ Eric W. Weisstein: Identric Mean. In: MathWorld. (englisch)
5. ↑ Laszlo Losonczi: Ratio of Stolarsky means: monotonicity and comparison

• Horst Alzer: Bestmögliche Abschätzungen für spezielle Mittelwerte
• Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. In: Archiv der Mathematik Vol. 47 (5), Nov. 1986 springerlink.com
• Edward Neumann: Stolarski Means of Several Variables In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol. 6, 2(30), 2005.
• Thomas Riedel, Prasanna K. Sahoo: A characterization of the Stolarsky mean. In: Aequationes Mathematicae 70, Nr. 1/2, Sept. 2005. springerlink.com