- Maximales Tensorprodukt
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Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren eine Konstruktion, mit der man aus zwei C*-Algebren A und B eine neue mit
bezeichnete C*-Algebra erhält. Es handelt sich dabei um die Vervollständigung des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen Tensorproduktes aus A und B. Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf A. Guichardet zurück.[1]
Inhaltsverzeichnis
Konstruktion
Es seien A und B zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt
ist eine Halbnorm α, so dass
für alle
für alle
Man kann zeigen, dass
für alle
und
. Für ein Element
folgt daher
für jede C*-Halbnorm. Deshalb ist μ(s): = sup αα(s), wobei α alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass μ eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf
. Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die räumliche C*-Norm.
Die Vervollständigung von
bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das maximale Tensorprodukt aus A und B und wird mit
bezeichnet [2], andere Autoren schreiben dafür
[3].
Eigenschaften
Das maximale Tensorprodukt hat folgende nützliche Eigenschaft[4]:
Es seien A, B und C C*-Algebren und
sowie
zwei *-Homomorphismen mit vertauschenden Bildern, das heißt φ(a)ψ(b) = ψ(b)φ(a) für alle
und
. Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus
mit
für alle
und
.
Sind A und B C*-Algebren, so heißt ein Paar (φ,ψ) ein vertauschendes Paar von Darstellungen von (A,B), falls
und
Hilbertraum-Darstellungen auf demselben Hilbertraum H sind und φ(a)ψ(b) = ψ(b)φ(a) für alle
und
gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen[5]:
Für zwei C*-Algebren A und B und
aus dem algebraischen Tensorprodukt
gilt
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ A. Guichardet: Tensor products of C*-algebras, Arhus University Lecture Notes, Band 12 (1969)
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, §11.3
- ↑ Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Kapitel 6
- ↑ Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Theorem 6.3.7
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 11.3.4
Literatur
- Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9
- R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1
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