Maximales Tensorprodukt

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren eine Konstruktion, mit der man aus zwei C*-Algebren A und B eine neue mit $A\otimes_{\mathrm{max}} B$ bezeichnete C*-Algebra erhält. Es handelt sich dabei um die Vervollständigung des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen Tensorproduktes aus A und B. Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf A. Guichardet zurück.^[1]

Konstruktion

Es seien A und B zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt $A\odot B$ ist eine Halbnorm α, so dass

• $\alpha(st)\le \alpha(s)\alpha(t)$ für alle $s,t\in A\odot B$
• $\alpha(s^*s) \,=\, \alpha(s)^2$ für alle $s\in A\odot B$

Man kann zeigen, dass $\alpha(a\otimes b) \le \|a\|\|b\|$ für alle $a\in A$ und $b\in B$. Für ein Element $s= \sum_{i=1}^n a_i\otimes b_i \in A\odot B$ folgt daher $\alpha(s) \le \sum_{i=1}^n\|a_i\|\|b_i\|$ für jede C*-Halbnorm. Deshalb ist μ(s): = sup _αα(s), wobei α alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass μ eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf $A\odot B$. Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die räumliche C*-Norm.

Die Vervollständigung von $A\odot B$ bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das maximale Tensorprodukt aus A und B und wird mit $A\otimes_\mu B$ bezeichnet ^[2], andere Autoren schreiben dafür $A\otimes_{\mathrm{max}} B$ ^[3].

Eigenschaften

Das maximale Tensorprodukt hat folgende nützliche Eigenschaft^[4]:

Es seien A, B und C C*-Algebren und $\varphi:A\rightarrow C$ sowie $\psi:B\rightarrow C$ zwei *-Homomorphismen mit vertauschenden Bildern, das heißt φ(a)ψ(b) = ψ(b)φ(a) für alle $a\in A$ und $b\in B$. Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus $\pi: A\otimes_{\mathrm{max}} B \rightarrow C$ mit $\pi(a\otimes b) = \varphi(a)\psi(b)$ für alle $a\in A$ und $b\in B$.

Sind A und B C*-Algebren, so heißt ein Paar (φ,ψ) ein vertauschendes Paar von Darstellungen von (A,B), falls $\varphi:A\rightarrow L(H)$ und $\psi:B\rightarrow L(H)$ Hilbertraum-Darstellungen auf demselben Hilbertraum H sind und φ(a)ψ(b) = ψ(b)φ(a) für alle $a\in A$ und $b\in B$ gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen^[5]:

Für zwei C*-Algebren A und B und $s=\sum_{j=1}^na_j\otimes b_j$ aus dem algebraischen Tensorprodukt $A\odot B$ gilt

$\mu(s) = \sup\{\|\sum_{j=1}^n\varphi(a_j)\psi(b_j)\|;\, (\varphi,\psi) \mbox{vertauschendes Paar von Darstellungen von } (A,B)\}.$

Siehe auch

• Räumliches Tensorprodukt
• Nukleare C*-Algebra

Einzelnachweise

1. ↑ A. Guichardet: Tensor products of C*-algebras, Arhus University Lecture Notes, Band 12 (1969)
2. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, §11.3
3. ↑ Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Kapitel 6
4. ↑ Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Theorem 6.3.7
5. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 11.3.4

Literatur

• Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1