Moserungleichungen

Die Moserungleichungen dienen zur Abschätzung der L²-Norm von Funktionen aus den Sobolew-Räumen. Sie spielen für die Existenzbeweise von quasilinearen Systemen eine große Rolle, da in diesen Systemen oft mit der L²-Norm gearbeitet wird.

1. Moserungleichung

Die erste Moserungleichung besagt, dass es für ein beliebiges $s \in \N$ eine Konstante $C_{s} \in \R_{> 0}$ gibt, s.d. $\forall f, g \in H^{s}(\R^m) \cap L^{\infty}(\R^m)$ und für jeden Multiindex α mit $\left|\alpha\right| = s$ gilt: $\| D^{\alpha} (f \cdot g) \|_{L^{2}} \leqq C_{s} \left( \| f \|_{L^{\infty}} \| g \|_{L^2} + \| D^{s} f \|_{L^2} \| g \|_{L^{\infty}} \right)$

2. Moserungleichung

Sind zusätzlich $f \in H^{s}(\R^m) \cap W^{1,\infty}(\R^m)$ und $g \in H^{s-1}(\R^m) \cap L^{\infty}(\R^m)$, so gilt insbesondere $\| D^{\alpha} (f g) - f D^{\alpha} g \|_{L^2} \| \leqq C_{s} \left( \| D^{s} f \|_{L^2} \| g \|_{L^{\infty}} + \| f \|_{L^{\infty}} \| D^{s-1} g \|_{L^2}\right)$

Für den Beweis der ersten beiden Ungleichungen betrachtet man zunächst den Spezialfall $f, g \in C^{\infty}_{0}(\R^m)$. Unter Verwendung der Leibnizregel schätzt man dann den Term mit Gagliardo-Nirenberg ab.

3. Moserungleichung

Sei $f \in C^{\infty}_{b}$ eine Funktion, deren Ableitungen alle beschränkt sind. Wenn f(0) = 0 gilt, dann gibt es $\forall s \in \N, g \in H^{s}(\R^m) \cap L^{\infty}(R^m)$ eine Konstante $C \in \R_{> 0}$, die nur von s und $\| g \|_{L^{\infty}}$ abhängt, sodass für jeden Multiindex α mit $\left| \alpha \right| = s$ gilt: $\| D^{\alpha} \left( f \circ g \right) \|_{L^2} \leqq C \| D^{s} f \|_{L^2}$

Literatur

• Michael Eugene Taylor: Partial Differential Equations. Band 3: Nonlinear equations. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 0-387-94652-7 (Applied mathematical Sciences 117).