Multiindex

In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem Multiindex zusammen. Verallgemeinert man Formeln von einer Veränderlichen auf mehrere Veränderliche, zum Beispiel von Potenzreihen in einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Formal gesehen ist ein Multiindex $\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ ein Tupel ganzer Zahlen.

Notation

$\begin{array}{ccl} \boldsymbol{k}=\boldsymbol{\ell} & \iff & k_1=\ell_1 \; , \; \ldots \; ,\; k_n=\ell_n \\\\ \boldsymbol{k}\le\boldsymbol{\ell} & \iff & k_1\le\ell_1\; ,\; \ldots\; ,\; k_n\le\ell_n \\\\ \boldsymbol{k}+\boldsymbol{\ell} & := & (k_1+\ell_1 \; ,\; \ldots \; ,\; k_n+\ell_n) \\\\ \boldsymbol{k}! & := & k_1!\cdots k_n! \\\\ {\boldsymbol{\alpha} \choose \boldsymbol{k}} & := & \frac{\boldsymbol{\alpha}!}{(\boldsymbol{\alpha-k})!\,\boldsymbol{k}!}={\alpha_1 \choose k_1}\cdots {\alpha_n \choose k_n} \\\\ |\boldsymbol{k}| & := & k_1+\cdots+k_n \\\\ \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}} & := & x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n} \\\\ \boldsymbol{D}^{\boldsymbol{k}} & := & D_1^{k_1}\cdots D_n^{k_n} \end{array}$

Anwendungsbeispiele

Potenzreihe

Eine Mehrfachpotenzreihe $\sum_{k_1 \ge 0} \cdots \sum_{k_n\ge 0} a_{k_1,\ldots,k_n} (z_1-z_1^o)^{k_1} \cdots (z_n-z_n^o)^{k_n}$ lässt sich kurz schreiben als $\sum_{\boldsymbol{k}\ge 0} a_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}^o)^{\boldsymbol{k}}$.

Potenzfunktion

Ist $\boldsymbol{x}\in\Bbb{R}^n$ und sind $\boldsymbol{k},\boldsymbol{m}\in\Bbb{N}^n$, so gilt $\boldsymbol{D}^{\boldsymbol{k}} \frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{m}}}{\boldsymbol{m}!} =\frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}}}{(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k})!}$ und $\boldsymbol{D}^{\boldsymbol{k}} \frac{|\boldsymbol{x}|^m}{m!}=\frac{|\boldsymbol{x}|^{m-|\boldsymbol{k}|}}{(m-|\boldsymbol{k}|)!}$.

Geometrische Reihe

Für $-\boldsymbol{1}<\boldsymbol{x}<\boldsymbol{1}$ gilt $\sum_{|\boldsymbol{k}|\ge 0} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}=\frac{1}{(\boldsymbol{1}-\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{1}}}$, wobei $\boldsymbol{1}=(1,\ldots,1)$ ist.

Binomischer Lehrsatz

Sind $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\Bbb{C}^n$ und ist $\boldsymbol{m}\in\Bbb{N}^n$, so gilt $(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\boldsymbol{m}}=\sum_{\boldsymbol{k}\le \boldsymbol{m}} {\boldsymbol{m} \choose \boldsymbol{k}} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}} \boldsymbol{y}^{\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}}$ bzw. $\frac{(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\boldsymbol{m}}}{\boldsymbol{m}!} =\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{m}} \frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}}{\boldsymbol{k}!} \frac{\boldsymbol{y}^{\boldsymbol{j}}}{\boldsymbol{j}!}$.

Multinomialtheorem

Für $\boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_n)\in\Bbb{R}^n$ und $m\in\Bbb{N}$ ist $(x_1+\cdots+x_n)^m=\sum_{k_1+\cdots+k_n=m} {m \choose k_1,\ldots,k_n} x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}$ bzw. $\frac{(x_1+\cdots+x_n)^m}{m!}=\sum_{k_1+\cdots+k_n=m} \frac{x_1^{k_1}}{k_1!} \cdots \frac{x_n^{k_n}}{k_n!}$, was sich kurz schreiben lässt als $\frac{|\boldsymbol{x}|^m}{m!} =\sum_{|\boldsymbol{k}|=m} \frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}}{\boldsymbol{k}!}$.

Leibniz-Regel

Ist $\boldsymbol{m}\in\Bbb{N}^n$ und sind $f,g:\Bbb{C}^n\to\Bbb{C}$ holomorphe Funktionen, so gilt $(fg)^{(\boldsymbol{m})}=\sum_{\boldsymbol{k}\le \boldsymbol{m}} {\boldsymbol{m} \choose \boldsymbol{k}} f^{(\boldsymbol{k})} g^{(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k})}$ bzw. $\frac{(fg)^{(\boldsymbol{m})}}{\boldsymbol{m}!} =\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{m}} \frac{f^{(\boldsymbol{k})}}{\boldsymbol{k}!} \frac{g^{(\boldsymbol{j})}}{\boldsymbol{j}!}$.

Und sind $f_1,\ldots,f_n:\Bbb{C}\to\Bbb{C}$ holomorphe Funktionen, so ist $\frac{(f_1\cdots f_n)^{m}}{m!}=\sum_{|\boldsymbol{k}|=m} \frac{\boldsymbol{f}^{(\boldsymbol{k})}}{\boldsymbol{k}!}$, wobei $\boldsymbol{f}^{(\boldsymbol{k})}=(f_1,\ldots,f_n)^{\big((k_1),\ldots,(k_n)\big)}=f_1^{(k_1)}\cdots f_n^{(k_n)}$ ist.

Cauchy-Produkt

Für Mehrfachpotenzreihen $f(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{\ell}|\ge 0} a_{\boldsymbol{\ell}} \, \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\ell}} \; , \; g(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{\ell}|\ge 0} b_{\boldsymbol{\ell}} \, \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\ell}}$ gilt $f(\boldsymbol{z})\, g(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{\ell}|\ge 0} \left(\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{\ell}} a_{\boldsymbol{k}} \, b_{\boldsymbol{j}} \right) \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\ell}}$.

Sind $f_1(z)=\sum_{\ell=0}^\infty a_{1\ell} z^{\ell} \; , \; \ldots \; , \; f_n(z)=\sum_{\ell=0}^\infty a_{n\ell} z^{\ell}$ Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt $f_1(z)\cdots f_n(z) =\sum_{\ell=0}^\infty \left(\sum_{|\boldsymbol{k}|=\ell} a_{\boldsymbol{k}}\right) z^\ell$, wobei $a_{\boldsymbol{k}}=(a_1,\ldots,a_n)_{(k_1,\ldots,k_n)}=a_{1k_1,\ldots,nk_n}$ ist.

Exponentialreihe

Für $\boldsymbol{z}=(z_1,...,z_n)\in\Bbb{C}^n$ gilt $e^{|\boldsymbol{z}|} =\sum_{|\boldsymbol{k}|\ge 0} \frac{\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{k}}}{\boldsymbol{k}!}$.

Binomische Reihe

Sind $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{x}\in\Bbb{C}^n$ und sind alle Komponenten von $\boldsymbol{x}$ betragsmäßig $<1\,$, so gilt $(\boldsymbol{1}+\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{\alpha}}=\sum_{|\boldsymbol{k}|\ge 0} {\boldsymbol{\alpha} \choose \boldsymbol{k}} \, \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}$.

Vandermondesche Konvolution

Ist $\boldsymbol{m}\in\Bbb{N}^n$ und sind $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in\Bbb{C}^n$, so gilt ${\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\choose \boldsymbol{m}}=\sum_{\boldsymbol{k}\le \boldsymbol{m}} {\boldsymbol{\alpha}\choose \boldsymbol{k}} {\boldsymbol{\beta}\choose \boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}} =\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{m}} {\boldsymbol{\alpha}\choose \boldsymbol{k}} {\boldsymbol{\beta}\choose \boldsymbol{j}}$.

Ist $m\in\Bbb{N}$ und $\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in\Bbb{C}^n$, so gilt ${|\boldsymbol{\alpha}| \choose m}=\sum_{|\boldsymbol{k}|=m} {\boldsymbol{\alpha} \choose \boldsymbol{k}}$.

Cauchysche Integralformel

In mehreren Veränderlichen $z_1,\ldots,z_n\,$ lässt sich die cauchysche Integralformel

$\frac{D^{\boldsymbol{k}} f(z_1,\ldots,z_n)}{\boldsymbol{k}!}=\frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n$

kurz schreiben als

$a_{\boldsymbol{k}}:=\frac{D^{\boldsymbol{k}} f(\boldsymbol{z})}{\boldsymbol{k}!}=\frac{1}{(2\pi i)^{\boldsymbol{1}}} \oint_{\partial \boldsymbol{U}} \frac{f(\boldsymbol{\xi})}{(\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{z})^{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{1}}} \, \boldsymbol{d\xi}$,

wobei $\partial \boldsymbol{U}=\partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n$ sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung $|a_{\boldsymbol{k}}|\le \tfrac{M}{\boldsymbol{r}^{\boldsymbol{k}}}$, wobei $\textstyle M=\max_{\boldsymbol{\xi}\in\partial\boldsymbol{U}} |f(\boldsymbol{k})|$ ist.

Taylor-Reihe

Ist $f:\Bbb{R}^n\to\Bbb{R}$ eine analytische Funktion oder $f:\Bbb{C}^n\to\Bbb{C}$ eine holomorphe Abbildung, so kann man diese Funktion in eine Taylor-Reihe

$f(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{k}|\ge 0} \frac{D^{\boldsymbol{k}} f(\boldsymbol{z}^o)}{\boldsymbol{k}!} (z-z^o)^{\boldsymbol{k}}$

entwickeln, wobei $\boldsymbol{k}$ ein Multiindex ist.

Hurwitz-Identität

Für $x,y\in\Bbb{C}$ mit $x\neq 0$ und $\boldsymbol{a}=(a_1,...,a_n)\in\Bbb{C}^n$ gilt $(x+y)^n=\sum_{\boldsymbol{0}\le\boldsymbol{k}\le\boldsymbol{1}} x\, (x+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{k})^{|\boldsymbol{k}|-1}\, (y-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{k})^{n-|\boldsymbol{k}|}$.

Dies verallgemeinert die Abelsche Identität $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\, x\, (x+ak)^{k-1}\, (y-ak)^{n-k}$.

Letztere erhält man im Fall $\boldsymbol{a}=(a,a,...,a)$.

Literatur

• Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.