- Multiindex
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In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem Multiindex zusammen. Verallgemeinert man Formeln von einer Veränderlichen auf mehrere Veränderliche, zum Beispiel von Potenzreihen in einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Formal gesehen ist ein Multiindex
ein Tupel ganzer Zahlen.
Inhaltsverzeichnis
Notation
Anwendungsbeispiele
Potenzreihe
Eine Mehrfachpotenzreihe
lässt sich kurz schreiben als
.
Potenzfunktion
Ist
und sind
, so gilt
und
.
Geometrische Reihe
Für
gilt
, wobei
ist.
Binomischer Lehrsatz
Sind
und ist
, so gilt
bzw.
.
Multinomialtheorem
Für
und
ist
bzw.
, was sich kurz schreiben lässt als
.
Leibniz-Regel
Ist
und sind
holomorphe Funktionen, so gilt
bzw.
.
Und sind
holomorphe Funktionen, so ist
, wobei
ist.
Cauchy-Produkt
Für Mehrfachpotenzreihen
gilt
.
Sind
Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt
, wobei
ist.
Exponentialreihe
Für
gilt
.
Binomische Reihe
Sind
und sind alle Komponenten von
betragsmäßig
, so gilt
.
Vandermondesche Konvolution
Ist
und sind
, so gilt
.
Ist
und
, so gilt
.
Cauchysche Integralformel
In mehreren Veränderlichen
lässt sich die cauchysche Integralformel
kurz schreiben als
,
wobei
sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung
, wobei
ist.
Taylor-Reihe
Ist
eine analytische Funktion oder
eine holomorphe Abbildung, so kann man diese Funktion in eine Taylor-Reihe
entwickeln, wobei
ein Multiindex ist.
Hurwitz-Identität
Für
mit
und
gilt
.
Dies verallgemeinert die Abelsche Identität
.
Letztere erhält man im Fall
.
Literatur
- Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
- Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.
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