Multinomialtheorem

In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung der Binomischen Formel auf die Summe beliebig vieler Koeffizienten dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.

Formel

Der Multinomialkoeffizient ist für nichtnegative ganze Zahlen $k_1,\ldots, k_n$ und $k :=\!\, k_1+\ldots+k_n$ definiert als

${k\choose k_1,\,\ldots,\,k_n} := \frac{k!}{k_1!\cdot\,\ldots\,\cdot k_n!}.$

Der Multinomialsatz lautet dann

$(x_1+x_2+\ldots+x_n)^k\,=\sum_{k_1+\ldots+k_n=k}{k\choose k_1,\ldots,k_n}\,\cdot\, x_1^{k_1}\cdot x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}.$

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex α:

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^k = \sum_{|\alpha|=k} {{k} \choose \alpha}\cdot x^\alpha$

Dabei identifiziert man x mit dem Vektor $(x_1, \ldots, x_n) \in \R^n$.

Anwendung

Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

$n^k = (1 + \cdots + 1)^k = \sum_{|\beta| = k} \frac{|\beta|!}{\beta!} \ge \frac{|\alpha|!}{\alpha!}\qquad\qquad\forall \alpha \text{ mit } |\alpha| = k$

$\Leftrightarrow |\alpha|! \le n^{|\alpha|}\cdot\alpha!$

Beweisskizze

Das Multinomialtheorem lässt sich wahlweise mithilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder per Induktion über n unter Zuhilfenahme der Binomischen Formel beweisen.

Siehe auch

• Multinomialverteilung

Literatur

• S.A. Rukova: Multinomial coefficient. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.
• Jaroslav Nesetril, Jiri Matousek: Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise. Springer 2007, ISBN 9783540301509, S. 79 (Auszug in der Google Buchsuche)
• Dominique Foata, Aimé Fuchs: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Birkhäuser 1999, USBN 3764361697, S. 41-42 (Auszug in der Google Buchsuche)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Multinomial Coefficient. In: MathWorld. (englisch)