Nakajima-Zwanzig-Gleichung

Die Nakajima-Zwanzig Gleichung ist eine Integrodifferentialgleichung, welche die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteoperatorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung angesehen werden.

Herleitung

Beginnend mit der Liouville-Gleichung

d_tχ = Lχ

wobei der Dichteoperator durch den Projektionsoperator $\mathcal{P}$ in zwei Anteile $\chi =\left( \mathcal{P}+\mathcal{Q} \right)\chi$ zerlegt wird. Wobei Q folglich durch $\mathcal{Q}\equiv 1-\mathcal{P}$ definiert ist.

Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch

${{d}_{t}}\left( \begin{matrix} \mathcal{P} \\ \mathcal{Q} \\ \end{matrix} \right)\chi =\left( \begin{matrix} \mathcal{P} \\ \mathcal{Q} \\ \end{matrix} \right)L\left( \begin{matrix} \mathcal{P} \\ \mathcal{Q} \\ \end{matrix} \right)\chi +\left( \begin{matrix} \mathcal{P} \\ \mathcal{Q} \\ \end{matrix} \right)L\left( \begin{matrix} \mathcal{Q} \\ \mathcal{P} \\ \end{matrix} \right)\chi$

dargestellt werden.

Die zweite Zeile wird formal durch

$\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}$ gelöst.

Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:

${\text{d}}_{t} \mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}$

Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet^{[Anmerkung 1]} und der Abkürzung

$\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}$,

$\mathcal{P}\chi \equiv {{\chi }_{rel}}$ sowie der Ausnutzung von $\mathcal{P}^2=\mathcal{P}$ erhält man die endgültige Form

${\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')}$

Anmerkungen

1. ↑ Dies kann man machen, wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt 0 ist. Also der Projektor für t=0 die Identität ist

Literatur

• E. Fick, G. Sauermann: The Quantum Statistics of Dynamic Processes Springer-Verlag, Berlin ... 1983, ISBN ISSN 3-540-50824-4.
• H. P. Breuer: Theory of Open Quantum Systems. Oxford... ,2002 ISBN ISSN 970-0-19-852063-4, S.432 ff
• UL http://dx.doi.org/10.1007/BF01320131

Quellen

• Originalartikel