- Liouville-Gleichung
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Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch von-Neumann'sche Bewegungsgleichung genannt. Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, das heißt dass der Fluss durch den Phasenraum volumen- und sogar orientierungserhaltend ist.
Inhaltsverzeichnis
Klassische Gleichung
In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte ρ im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Für die zeitliche Entwicklung eines solchen Ensembles gilt
wobei die qi und pi die kanonischen Orts- und Impulskoordinaten des i-ten Teilchens im Phasenraum bezeichnen. Unabhängig vom gewählten Ensemble verschwindet die totale zeitliche Ableitung, was bedeutet, dass sich entlang einer Phasenraumtrajektorie die Phasenraumdichte nicht verändert. Ersetzt man und gemäß der hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so lässt sich dieser Sachverhalt mit Hilfe der Poisson-Klammer kürzer ausdrücken:
wobei H die Hamilton-Funktion und τ die Gesamtheit der Phasenraumkoordinaten bezeichnet.
Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch „Liouville-Theorem“ genannt).
Quantenmechanische Gleichung
Hier bezeichnet H den Hamilton-Operator, ρ die Dichtematrix und die eckigen Klammern den Kommutator. Diese Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt. Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen der klassischen Poisson-Klammer und dem Hamilton-Operator hergeleitet werden:
Literatur
Franz Schwabl, Statistische Mechanik, Springer 2004
Siehe auch
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