Topologischer Nullteiler

Topologischer Nullteiler

Ein topologischer Nullteiler ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Unter Ausnutzung der Topologie wird der algebraische Begriff des Nullteilers verallgemeinert.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei A eine Banachalgebra über dem Körper der komplexen Zahlen. Ein von 0 verschiedenes Element x\in A heißt linker topologischer Nullteiler, falls es eine Folge (xn)n in A gibt mit:

  1. \|x_n\|=1 für alle n,
  2. x\cdot x_n \xrightarrow{n\to \infty} 0 .

Ein rechter topologischer Nullteiler wird analog definiert, wobei im letzten Punkt natürlich x_n \cdot x \xrightarrow{n\to \infty} 0 zu schreiben ist.

Ein beidseitiger oder zweiseitiger topologischer Nullteiler ist ein linker und gleichzeitig rechter topologischer Nullteiler. [1] [2]

In kommutativen Banachalgebren fallen diese drei Begriffe zusammen und man spricht einfach von topologischen Nullteilern. Manche Autoren lassen auch 0 als topologischen Nullteiler zu; hier liegt also die gleiche uneinheitliche Situation wie bei den algebraischen Nullteilern vor.

Beispiele

  • Linke (rechte, zweiseitige) Nullteiler sind linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler; man kann in diesem Fall eine konstante Folge (xn)n wählen.
Skizze zu den verwendeten Funktionen
  • In der Funktionenalgebra C([0,1]) der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall [0,1] mit der Supremumsnorm ist x = id[0,1] ein topologischer Nullteiler, der kein Nullteiler ist. x ist kein Nullteiler, denn ist xy = 0, so muss y(t) = 0 zunächst für 0< t \le 1 gelten, da x auf ]0,1] nicht 0 ist. Die Stetigkeit von y liefert dann für alle t\in [0,1] die Eigenschaft y(t) = 0 und damit muss y = 0 (also die Nullfunktion auf C([0,1])) sein und x ist kein Nullteiler.
Um zu sehen, dass x ein topologischer Nullteiler ist, betrachte die Funktionen
x_n(t)=\begin{cases} 1-nt & \mbox{wenn } 0\le t \le \frac{1}{n} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
Dann ist \|x_n\|=1, \|x\cdot x_n\| = \frac{1}{4n} \rightarrow 0 und damit x als topologischer Nullteiler nachgewiesen.
  • Ist A eine Banachalgebra mit Einselement 1, x\in A kein Vielfaches des Einselements und λ aus dem topologischen Rand des Spektrums von x, so ist x-\lambda\cdot 1 ein topologischer Nullteiler. Daraus ergibt sich mit dem Satz von Gelfand-Mazur folgende auf W. Żelasko zurückgehende Aussage: Entweder ist A isomorph zu \C oder A hat topologische Nullteiler.[3]

Permanent singuläre Elemente

Ein Element einer Banachalgebra A heißt bekanntlich singulär, wenn es nicht invertierbar ist. Ein Element heißt permanent singulär, falls es keine Banachalgebra \tilde{A} gibt mit A\subset \tilde{A} (bzw. A ist isometrisch in \tilde{A} eingebettet), so dass es in \tilde{A} invertierbar ist. Es gilt folgender von R. Arens bewiesener Satz[4]:

  • Ein Element einer kommutativen \C-Banachalgebra ist genau dann permanent singulär, wenn es ein topologischer Nullteiler ist.

Nullteiler

Man kann jeden topologischen Nullteiler einer Banachalgebra als echten (algebraischen) Nullteiler einer umfassenden Banachalgebra realisieren. Genauer gilt[5]:

  • Zu jeder Banachalgebra A gibt es eine Banachalgebra \tilde{A}, so dass folgendes gilt:
  1. A ist isometrisch isomorph zu einer Unterbanachalgebra von \tilde{A}.
  2. Jeder linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler von A ist ein linker (rechter, zweiseitiger) Nullteiler in \tilde{A}.

Zur Konstruktion von \tilde{A} sei \overline{A} die Algebra aller beschränkten Folgen in A. Für (x_n)_n \in \overline{A} sei |(x_n)_n|:= \limsup_{n\to \infty}\|x_n\|. Dann ist N:=\{(x_n)_n\in \overline{A};\, |(x_n)_n|=0\} ein Ideal in \overline{A} und der Quotient \tilde{A}=\overline{A}/N ist mit der durch |\cdot | induzierten Quotientennorm eine Banachalgebra. Mittels konstanter Folgen kann man A isometrisch isomorph in \tilde{A} einbetten. Ist nun x\in A ein linker topologischer Nullteiler, so gibt es definitionsgemäß eine Folge (xn)n in A mit \limsup_{n\to\infty}\|x\cdot x_n\| = 0. Daher ist x, aufgefasst als Element in \tilde{A}, ein linker Nullteiler.

Einzelnachweise

  1. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14: Topological Divisors of Zero
  2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.12
  3. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.4
  4. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.7
  5. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.8

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