- Topologischer Nullteiler
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Ein topologischer Nullteiler ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Unter Ausnutzung der Topologie wird der algebraische Begriff des Nullteilers verallgemeinert.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei A eine Banachalgebra über dem Körper der komplexen Zahlen. Ein von 0 verschiedenes Element
heißt linker topologischer Nullteiler, falls es eine Folge (xn)n in A gibt mit:
für alle n,
.
Ein rechter topologischer Nullteiler wird analog definiert, wobei im letzten Punkt natürlich
zu schreiben ist.
Ein beidseitiger oder zweiseitiger topologischer Nullteiler ist ein linker und gleichzeitig rechter topologischer Nullteiler. [1] [2]
In kommutativen Banachalgebren fallen diese drei Begriffe zusammen und man spricht einfach von topologischen Nullteilern. Manche Autoren lassen auch 0 als topologischen Nullteiler zu; hier liegt also die gleiche uneinheitliche Situation wie bei den algebraischen Nullteilern vor.
Beispiele
- Linke (rechte, zweiseitige) Nullteiler sind linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler; man kann in diesem Fall eine konstante Folge (xn)n wählen.
- In der Funktionenalgebra C([0,1]) der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall [0,1] mit der Supremumsnorm ist x = id[0,1] ein topologischer Nullteiler, der kein Nullteiler ist. x ist kein Nullteiler, denn ist xy = 0, so muss y(t) = 0 zunächst für
gelten, da x auf ]0,1] nicht 0 ist. Die Stetigkeit von y liefert dann für alle
die Eigenschaft y(t) = 0 und damit muss y = 0 (also die Nullfunktion auf C([0,1])) sein und x ist kein Nullteiler.
- Um zu sehen, dass x ein topologischer Nullteiler ist, betrachte die Funktionen
- Dann ist
,
und damit x als topologischer Nullteiler nachgewiesen.
- Ist A eine Banachalgebra mit Einselement 1,
kein Vielfaches des Einselements und λ aus dem topologischen Rand des Spektrums von x, so ist
ein topologischer Nullteiler. Daraus ergibt sich mit dem Satz von Gelfand-Mazur folgende auf W. Żelasko zurückgehende Aussage: Entweder ist A isomorph zu
oder A hat topologische Nullteiler.[3]
Permanent singuläre Elemente
Ein Element einer Banachalgebra A heißt bekanntlich singulär, wenn es nicht invertierbar ist. Ein Element heißt permanent singulär, falls es keine Banachalgebra
gibt mit
(bzw. A ist isometrisch in
eingebettet), so dass es in
invertierbar ist. Es gilt folgender von R. Arens bewiesener Satz[4]:
- Ein Element einer kommutativen
-Banachalgebra ist genau dann permanent singulär, wenn es ein topologischer Nullteiler ist.
Nullteiler
Man kann jeden topologischen Nullteiler einer Banachalgebra als echten (algebraischen) Nullteiler einer umfassenden Banachalgebra realisieren. Genauer gilt[5]:
- Zu jeder Banachalgebra A gibt es eine Banachalgebra
, so dass folgendes gilt:
- A ist isometrisch isomorph zu einer Unterbanachalgebra von
.
- Jeder linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler von A ist ein linker (rechter, zweiseitiger) Nullteiler in
.
Zur Konstruktion von
sei
die Algebra aller beschränkten Folgen in A. Für
sei
. Dann ist
ein Ideal in
und der Quotient
ist mit der durch
induzierten Quotientennorm eine Banachalgebra. Mittels konstanter Folgen kann man A isometrisch isomorph in
einbetten. Ist nun
ein linker topologischer Nullteiler, so gibt es definitionsgemäß eine Folge (xn)n in A mit
. Daher ist x, aufgefasst als Element in
, ein linker Nullteiler.
Einzelnachweise
- ↑ Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14: Topological Divisors of Zero
- ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.12
- ↑ Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.4
- ↑ Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.7
- ↑ Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.8
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