- Faktorring
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In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.
Definition
Ist
ein Ring und
ein (beidseitiges) Ideal von
, dann bildet die Menge
der Äquivalenzklassen modulo
mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:
Diesen Ring nennt man den Faktorring
modulo
oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)
Beispiele
- Die Menge
aller ganzzahligen Vielfachen von n ist ein Ideal in
, und der Faktorring
ist der Restklassenring modulo n.
- Ist
ein Polynom über einem Integritätsring R, dann ist die Menge
aller Polynom-Vielfachen von f ein Ideal im Polynomring R[X], und
ist der Faktorring R[X] modulo f.
- Betrachten wir das Polynom f = X2 + 1 über dem Körper
der reellen Zahlen, so ist der Faktorring
isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von X entspricht dabei der imaginären Einheit i. Rechenbeispiele: Das Polynom X2 liegt wegen X2 = f − 1 in derselben Äquivalenzklasse modulo f wie − 1. Für das Produkt
ermitteln wir
- Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern
.
Eigenschaften
Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein Primideal, wenn R / I ein Integritätsring ist.
Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal I genau dann ein maximales Ideal, wenn R / I ein Körper ist.
Ist K ein Körper und f ein irreduzibles Polynom über K, dann ist (f) ein maximales Ideal in K[T] und deshalb ist L: = K[T] / (f) ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von K, in dem f eine Nullstelle hat (die Restklasse von T). Die Körpererweiterung L / K ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von f überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über L irreduziblen Teilern von f, so erhält man schließlich einen Körper, in dem f in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von f.
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