Ramanujansumme

Als Ramanujansumme wird in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine bestimmte endliche Summe c_q(n), deren Wert von der natürlichen Zahl q und der ganzen Zahl n abhängt, bezeichnet. Sie wird durch

$c_q(n)= \sum_{a=1\atop (a,q)=1}^q e^{2 \pi i \frac{a}{q} n}$

definiert. Die Schreibweise (a,q) steht für den größten gemeinsamen Teiler von a und q, die Summation erstreckt sich also über die Zahlen a mit $1 \leq a \leq q$, die zu q teilerfremd sind. Die Summanden in der Summe sind Potenzen einer festen komplexen Einheitswurzel.

Srinivasa Ramanujan führte diese Summen 1916 ein.^[1] Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Kreismethode nach Hardy, Littlewood und Winogradow.^[2] → Siehe dazu auch Trigonometrisches Polynom.

Durch Ramanujansummen kann man interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen, die eine analytische Fortsetzung dieser Funktionen erlauben.

Schreibweisen

Für eine übersichtliche Darstellung wird in der Zahlentheorie abkürzend e(x) = e^2πix geschrieben und die Funktion e wird als zahlentheoretische Exponentialfunktion bezeichnet.^[3]

Mit der zahlentheoretischen Exponentialfunktion lässt sich die Ramanujansumme c_q(n) als

$c_q(n)= \sum_{a=1\atop (a,q)=1}^q e\left(\frac{a}{q}\cdot n\right)$ schreiben.

Für ganze Zahlen a und b schreibt man $a\mid b$, gelesen „a teilt b“, falls eine ganze Zahl c existiert mit der $b=a\cdot c$ gilt, existiert keine solche Zahl, schreibt man $a \nmid b$, gelesen „a teilt b nicht“. Das Summationssymbol $\sum_{d\,\mid\,m}f(d)$ bedeutet, dass der Summationsindex d alle positiven Teiler von m durchläuft. Für eine Primzahlpotenz $p^k, k\in\N\setminus \lbrace 0 \rbrace$ und eine ganze Zahl b schreibt man $p^k\parallel b$ (gelesen „p^k teilt b genau“), falls $p^k\mid b$ aber $p^{k+1}\nmid b$, mit anderen Worten, falls (p^{k + 1},b) = p^k.

Elementare Eigenschaften

Hält man eine der Variablen q oder n in der Ramanujansumme c_q(n) fest, so erhält man eine zahlentheoretische Funktion in Abhängigkeit von der anderen Variablen, n muss für diesen Begriff als Variable auf $n\in\N\setminus \lbrace 0\rbrace$ beschränkt werden. Bei festem q ist die Funktion $n\mapsto c_q(n)$ q-periodisch, das heißt es gilt

c_q(m) = c_q(n) falls $m\equiv n\pmod q, n,m\in \Z$.

Lässt man die Bedingung der Teilerfremdheit bei der Summation fort, erhält man

$\sum_{a=1}^q e\left(\frac{a}{q}\cdot n\right) =\begin{cases} q\quad \text{falls}\; n\equiv 0 \pmod q \\ 0\quad \text{sonst,}\end{cases}$

denn dann ist die linke Seite eine geometrische Summe. Sortiert man in der Summe nach dem größten gemeinsamen Teiler von q und a, dann ergibt sich eine Dirichlet-Faltung der zahlentheoretischen Funktion $q\mapsto c_q(n)$ mit der konstanten Funktion I⁰(q) = 1:

$\sum_{a=1}^q e\left( \frac{a}{q}\cdot n\right) =\sum_{d\mid q} \sum_{a=1\atop (a,q)=d}^q e\left(\frac{a}{q}\cdot n\right) =\sum_{d\mid q} c_{q/d} (n)$.

Daraus folgt mit der Möbiusschen Umkehrformel:

$c_q(n)= \sum_{{d\mid q}\atop {n\equiv 0 \pmod d}} \mu(q/d) \cdot d = \sum_{d\mid (q,n)} \mu(q/d)\cdot d.$

Daraus folgt dann:

• Die Ramanujansumme c_q(n) nimmt stets reelle und sogar ganzzahlige Werte an,
• es gilt c_q(n) = c_q( − n), c_q(0) = φ(q),
• sie ist bei festem n eine multiplikative zahlentheoretische Funktion von q, das heißt

aus (q,r) = 1 folgt $c_{qr}(n)=c_{q}(n)\cdot c_r(n)$

• und es gilt stets c_q(n) = c_q((q,n)).
• Man kann die Ramanujansumme durch die Eulersche φ-Funktion φ und die Möbiusfunktion μ darstellen:^[4]

$c_q(n)=\varphi (q) \cdot \frac{\mu(q/(q,n))}{\varphi(q/(q,n))}$ (für n = 0 setzt man (q,0) = q, allgemeiner (q,n) als positiven ggT fest),

• ihre Werte sind bei festem q betragsmäßig durch φ(q) beschränkt,
• wird die natürliche Zahl $\!\, q/(q,n)$ für eine Primzahl p von p² geteilt, dann ist c_q(n) = 0.

Ramanujansummen zur Darstellung von zahlentheoretischen Funktionen

Bereits Ramanujan zeigte für einige wichtige Spezialfälle, dass man mit seinen Summen interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen kann. Dazu wird eine spezielle Art diskrete Fourier-Transformation für zahlentheoretische Funktionen des größten gemeinsamen Teilers eingeführt:^[5]

Seien $n\in \Z,\; q\in\N$ und $f:\N\rightarrow \C$ eine zahlentheoretische Funktion. Dann heißt

$F_f(n,q) = \sum_{a=1}^q f((a,q))\cdot e\left(- \frac{a}{q}\cdot n\right)$

diskrete Fouriertransformierte von f((n,q)).

Für diese Fouriertransformierte gilt:

1. $F_f(n,q) = (f * c_{\underline{\quad}}(n)) (q)= \sum_{d\mid q} f\left(\frac{q}{d}\right)\cdot c_d(n)$ und
2. $f((n,q)) = \frac{1}{q}\sum_{a=1}^q F_f(a,q) e \left(\frac{a}{q}\cdot n\right)$ für die Inverse Transformierte.^[5]

Bei diesen Transformationen müssen die bestimmenden Gleichungen durch die Bildung des größten gemeinsamen Teilers nur endlich viele Koeffizienten mit positivem Index berücksichtigen.

Beispiele

• Größter gemeinsamer Teiler:

$(n,q)=\sum_{a=1}^q e\left(\frac{a}{q}\cdot n\right)\cdot \sum_{d\mid q} \frac{c_d(a)}{d}$. Diese Darstellung erlaubt eine analytische Fortsetzung des größten gemeinsamen Teilers in der ersten Stelle n auf $n\in\C$ als ganze Funktion!^[5]

• Eulersche φ-Funktion:

$\varphi(q)=\sum_{a=1}^q (a,q)\cdot e\left(-\frac{a}{q}\right)$. Daraus folgen durch Aufteilen in Real- und Imaginärteil die trigonometrischen Relationen

$\sum_{a=1}^q (a,q)\cdot \cos\left(2\pi \cdot \frac{a}{q}\right)=\varphi(q)\quad$ und $\sum_{a=1}^q (a,q)\cdot \sin\left(2\pi \cdot \frac{a}{q}\right)=0.$

• Eine Art Orthogonalität für Ramanujansummen: Sei η(n) die zahlentheoretische Einsfunktion, also das neutrale Element der Faltungsoperation mit

$\eta(n)=\begin{cases}1\quad (n=1)\\ 0 \quad \left( n\in\N\setminus \lbrace 1\rbrace\right).\end{cases}$

Dann folgt durch Inverse Fouriertransformation für $n\in\Z\setminus \lbrace 0\rbrace, q\in\N:$

$\eta((n,q))=\frac{1}{q}\sum_{a=1}^q c_q(a)\cdot e\left( \frac{a}{q}\cdot n\right).$

Das bedeutet: Genau wenn die rechtstehende Summe nicht verschwindet, sind die Zahlen n und q teilerfremd. Dann hat die rechte Seite der Gleichung den Wert 1.

Literatur

• Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1995, ISBN 3-540-58821-3.
• Godfrey Harold Hardy : Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 1999, ISBN 978-0821820230.
• Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1980, ISBN 978-0198531715.
• John Knopfmacher: Abstract Analytic Number Theory. Neue Auflage. Dover Publications, 2000, ISBN 0486663442.
• Srinivasa Ramanujan: On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 22, Nr. 15, 1918, S. 259– 276.
• Srinivasa Ramanujan: On Certain Arithmetical Functions. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 22, Nr. 9, 1916, S. 159– 184.
• Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 2000, ISBN 978-0821820766.
• Robert Charles Vaughan: The Hardy-Littlewood Method. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-57347-5.
• Wolfgang Schramm: The Fourier Transform of functions of the Greatest Common Divisor. In: Integers: Electronical Journal of Combinatorical Number Theory. 8, Nr. 50, 2008 (http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/i50/i50.pdf).
• Ivan Matveevitch Vinogradov: The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated from the Russian and annotated by Klaus Friedrich Roth and Anne Ashley Davenport. New York, Dover 2004 (übersetzt von Roth und Davenport).

Einzelnachweise

1. ↑ Ramanujan (1916)
2. ↑ Vaughan (1997)
3. ↑ Brüdern (1995) S. 20
4. ↑ Brüdern (1995) Lemma 1.3.1
5. ↑ ^{a b c} Schramm (2008)