Satz von Betti

Der Satz von Betti (auch Reziprozitätsatz von Betti) wurde 1872 von Enrico Betti formuliert. Er gilt für statische Tragkonstruktionen, die einer Belastung durch Kräfte ausgesetzt sind und dadurch Verformungen unterliegen.

Das statische System wird als linearelastisch vorausgesetzt und befindet sich im Gleichgewicht. Es wird weiter vorausgesetzt, dass das statische System mit zwei Kräften oder Kraft-/Lastgruppen belastet wird, die unabhängig voneinander aufgebracht werden können. Die erste Last F₁ erzeugt einen Verschiebungsweg x₂ an der Stelle, an der die zweite Last wirkt und ebenso erzeugt die zweite Last F₂ einen Verschiebungsweg an der Stelle x₁, an der die erste Last wirkt. Außerdem muss man wissen, dass physikalische Arbeit als Kraft mal Weg definiert ist.

Der Satz lautet dann: Die physikalische Arbeit, die die Kraft F₁ auf dem Weg x₁ leistet, ist gleich der Arbeit, die die Kraft F₂ auf dem Weg von x₂ leistet:

$F_1 \cdot x_1=F_2 \cdot x_2$

Das gilt auch dann, wenn nicht zwei Kräfte, sondern zwei Kraftgruppen wirken, ebenso für Momente und Verdrehungswinkel.

Anders formuliert kann man auch sagen: Die reziproken äußeren Arbeiten zweier Systeme, die im Gleichgewicht sind, sind gleich groß. Der Satz von Betti wird deshalb auch als Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeit bezeichnet.^[1] Er wird auch der "Satz von Maxwell und Betti" genannt.

Der Satz von Betti hat in der Technischen Mechanik, speziell der Baustatik, Bedeutung. Er ist auch eine Grundlage der Randelementmethode.^[2]

Beispiel

Kragbalken zur Demonstration des Satzes von Betti

Wir betrachten einen horizontal gelagerten Balken, an dem die Punkte 1 und 2 beliebig definiert sind, nur nicht gerade in den Auflagern (denn das ergäbe einen trivialen Fall). Zuerst lassen wir eine vertikale Kraft P an Punkt 1 wirken und messen die vertikale Absenkung des Punktes 2, die wir Δ_P2 nennen. Als nächstes entfernen wir die Kraft P wieder und setzen jetzt eine Kraft Q auf Punkt 2. Das erzeugt eine Absenkung an Punkt 1: Δ_Q1. Nach Betti gilt jetzt:

$P \cdot \Delta_{Q1}=Q \cdot \Delta_{P2}.$

Quellen

1. ↑ http://www.winfem.de/DiplomarbeitMaterna.pdf Finite Elemente und Einflussfunktionen, Diplomarbeit Daniel Materna, pdf-Datei, 489 kB
2. ↑ http://www.winfem.de/Projekt3.pdf Thorsten Kunow: Verbesserte Berechnung von lokalen Zielgrößen mit der Methode der finiten Elemente unter Verwendung von Grundlösungen, siehe unter 2.1 (pdf-Datei, 1119 kB)

Weblinks

• Satz von Maxwell und Betti
• http://freenet-homepage.de/sambasocke/studium/Protokoll_Kragbalken.pdf Strukturmechanische Untersuchungen an einem Kragbalken (pdf, 189 kB)
• Das Verfahren von Castigliano II. Die Sätze von Betti und Maxwell. (pdf, 297 kB)