Siegelscher Halbraum

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie bezeichnet der siegelsche Halbraum oder die siegelsche Halbebene eine Verallgemeinerung der Halbebene. Dieser Raum ist benannt nach dem Mathematiker Carl Ludwig Siegel, welcher dieses Objekt systematisch untersuchte.

Definition

Der siegelsche (obere) Halbraum $\mathcal{H}^g$ von Grad $g \in \mathbb{N}$ ist definiert als die Menge der komplexen symmetrischen $(g \times g)$-Matrizen, deren Imaginärteil positiv definit ist.

Anmerkungen

• Im Fall g = 1 ist der siegelsche Halbraum die bekannte obere Halbebene.
• Der siegelsche obere Halbraum trägt eine Operation der symplektischen Gruppe $Sp_{2g}(\Z)$. Der Quotient ist der Modulraum der prinzipal-polarisierten abelschen Varietäten. Im Fall g = 1 parametrisiert der Quotientenraum $SL_2(\Z)\backslash\mathbb H$ elliptische Kurven. Die j-Funktion gibt dabei die j-Invariante der Kurve an.
• Ichirō Satake gab 1957 eine Kompaktifizierung des siegelschen Halbraums an.

Mehrdimensionale Thetareihe

Der siegelsche Halbraum spielt als Verallgemeinerung der oberen Halbebene eine wichtige Rolle bei der Definition der Thetareihe in mehreren komplexen Variablen. Die mehrdimensionale Thetareihe ist eine Funktion

$\theta : \C^g \times \mathcal{H}^g \to \C,$

welche durch

$\theta (z , T) = \sum_{n \in \Z^g} \operatorname{exp} (\pi i \langle n , 2z + Tn\rangle)$

definiert ist. Diese Reihe konvergiert normal und ist daher holomorph.

Literatur

• Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen. Springer-Verlag, 2009, ISBN 364201710X.