Normale Konvergenz

In der Mathematik dient der Begriff der normalen Konvergenz der Charakterisierung von unendlichen Reihen von Funktionen. Eingeführt wurde der Begriff von dem französischen Mathematiker René Louis Baire.

Definition

Sei X ein beliebiger topologischer Raum. Für Funktionen $f : X \rightarrow \mathbb{C}$ und eine beliebige Teilmenge A von X sei

$|f|_A := \sup_{x \in A} |f(x)|$

die Supremums-Seminorm. Eine Reihe $\textstyle \sum_{n=1}^\infty f_n$ von Funktionen $f_n : X \rightarrow \mathbb{C}$ heißt normal konvergent, wenn es zu jedem $x \in X$ eine Umgebung U(x) gibt, so dass

$\sum_{n=1}^\infty |f_n|_U < \infty.$

Eigenschaften

Der Begriff der normalen Konvergenz ist ein relativ starker Konvergenzbegriff, denn für jede in X normal konvergente Reihe ist diese dort auch lokal gleichmäßig konvergent, das heißt zu jedem Punkt $x_0 \in X$ gibt es eine Umgebung U(x₀), in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Damit ist jede normal konvergente Reihe auch kompakt konvergent, da dies aus der lokal-gleichmäßigen Konvergenz folgt.

Wichtig sind noch folgende Tatsachen:

• Linearkombinationen sowie das Produkt normal konvergenter Reihen sind wieder normal konvergent.

• Sind alle f_n stetig, so ist auch die Grenzfunktion $\textstyle f=\sum_{n=1}^\infty f_n$ stetig, wenn $\textstyle \sum_{n=1}^\infty f_n$ normal konvergiert.

• Konvergiert eine Reihe normal gegen eine Grenzfunktion f, so konvergiert auch jede Umordnung dieser Reihe normal gegen f.

Literatur

• R. Remmert, Funktionentheorie I, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1989, ISBN 3-540-51238-1
• Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer Verlag, 3. Auflage, 1995