Symplektische Gruppe

Die symplektische Gruppe ist ein Begriff aus der Mathematik, im Überlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie. Sie ist die Menge der linearen Abbildungen, die eine symplektische Form, das heißt eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform, invariant lassen, so wie die orthogonale Gruppe der längentreuen Abbildungen eine nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform invariant lässt. Die symplektische Gruppe in 2n Dimensionen ist eine halbeinfache Gruppe zum Wurzelsystem C_n.

Für jedes $n \in \mathbb{N}$ und jeden Körper F mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe Sp_2n(F) eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(2n,F).

$Sp_{2n}(F) \colon= \left\{ T \in GL_{2n}(F)\mid\, T^{\text{T}}\,I_n\,T=I_n\right\}$

mit

$I_n= \begin{pmatrix} 0 & E_n \\ -E_n & 0 \end{pmatrix}$

wobei E_n die $n\times n$ Einheitsmatrix und 0 die n x n Nullmatrix bezeichnet.

Die symplektische Gruppe spielt beim Studium von symplektischen Räumen eine wichtige Rolle.

Literatur

• V. L. Popov: {{{Titel}}}. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.