Superperfekte Zahl

Eine natürliche Zahl n wird als superperfekte Zahl bezeichnet, wenn die Summe der Teiler der Summe ihrer Teiler doppelt so groß ist wie die ursprüngliche Zahl n. Verwendet man $\sigma\,$ als Notation für die Teilersummenfunktion, so kann man die Definition wie folgt aufschreiben:

n ist eine superperfekte Zahl genau dann, wenn $\sigma(\sigma(n))=2n.\,$

Die bekannteren vollkommenen Zahlen erfüllen dagegen die Gleichung $\sigma(n)=2n.\,$ Die Frage, ob eine Zahl superperfekt ist, stellt sich bei der Untersuchung der iterierten Teilersummenfunktion (siehe auch Inhaltskette; hier wird jedoch die Abbildung $n \mapsto \sigma(n) - n$ iteriert).

Beispiele und Eigenschaften

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Summe dieser Zahlen ist 12. Die Teiler von 12 wiederum sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12, deren Summe 28 ist. Wegen 28 ≠ 2·6 ist 6 keine superperfekte Zahl. Weitere Rechenbeispiele sind:

Zahl n	σ(n)	σ(σ(n))	2n	Superperfekt?
2	σ(2) = 1 + 2 = 3	σ(3) = 1 + 3 = 4	4	Ja
3	σ(3) = 1 + 3 = 4	σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7	6	Nein
6	σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12	σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28	12	Nein
8	σ(8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15	σ(15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24	16	Nein
10	σ(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18	σ(18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39	20	Nein
16	σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31	σ(31) = 1 + 31 = 32	32	Ja

Die ersten superperfekten Zahlen sind 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, … (Folge A019279 in OEIS).

Jede gerade superperfekte Zahl hat die Form 2^{p − 1}, wobei 2^p − 1 eine Mersenne-Primzahl ist (Beispiel: 16 ist superperfekt und 31 eine Mersenne-Primzahl). Umgekehrt liefert jede Mersenne-Primzahl eine gerade superperfekte Zahl. Ob es ungerade superperfekte Zahlen gibt, ist nicht bekannt.

Verallgemeinerung

Superperfekte Zahlen sind – genau wie die vollkommenen Zahlen – Beispiele für Zahlen der Oberklasse von (m, k)-superperfekten Zahlen, welche wie folgt definiert sind:

n ist eine (m, k)-superperfekte Zahl genau dann, wenn $\sigma^m(n)=k\cdot n$ gilt.

Vollkommene Zahlen sind somit (1,2)-superperfekt und superperfekte Zahlen (2,2)-superperfekt. Cohen/te Riele halten es für möglich, dass jede Zahl (m, k)-superperfekt ist für geeignete m und k.

Literatur

• D. Suryanarayana: Super perfect numbers, Elemente der Mathematik 24, 16–17, 1969 (online)
• Dieter Bode: Über eine Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen, Dissertation, Braunschweig, 1971
• Richard K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory, Springer, 3. Auflage, 2004, Kapitel B2 und B9 (Google books)
• G. L. Cohen, H. J. J. te Riele: Iterating the sum-of-divisors function, Experimental Mathematics 5, 93-100, 1993 (online)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Superperfect Number. In: MathWorld. (englisch)
• Planetmath.org: Superperfect Number