Toda-Gitter

Das Toda-Gitter, benannt nach Morikazu Toda, ist ein einfaches Modell eines eindimensionalen Kristalls in der Festkörperphysik. Es modelliert eine Kette von Teilchen, in der nur nächste Nachbarn miteinander wechselwirken, mit der zugehörigen Bewegungsgleichung:

$\begin{align} \frac{d}{dt} p(n,t) &= e^{-(q(n,t) - q(n-1,t))} - e^{-(q(n+1,t) - q(n,t))}, \\ \frac{d}{dt} q(n,t) &= p(n,t). \end{align}$

Dabei ist q(n,t) die Auslenkung des n-ten Teilchens aus der Ruhelage und p(n,t) sein Impuls (die Masse ist m = 1).

Das Toda-Gitter ist ein Beispiel eines vollständig integrablen Systems mit Solitonenlösungen. Um das zu sehen verwendet man Flaschka-Variablen

$a(n,t) = \frac{1}{2} {\rm e}^{-(q(n+1,t) - q(n,t))/2}, \qquad b(n,t) = -\frac{1}{2} p(n,t)$

in denen das Toda-Gitter durch

$\begin{align} \dot{a}(n,t) &= a(n,t) \Big(b(n+1,t)-b(n,t)\Big), \\ \dot{b}(n,t) &= 2 \Big(a(n,t)^2-a(n-1,t)^2\Big) \end{align}$

gegeben ist. Dann kann man leicht nachrechnen, dass das Toda-Gitter äquivalent zur Lax-Gleichung

$\frac{d}{dt} L(t) = [P(t), L(t)]$

ist. Hierbei bezeichnet [P,L] = P L - L P den Kommutator zweier Operatoren. Die Operatoren L und P, das Lax-Paar, sind lineare Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen $\ell^2(\mathbb{Z})$ die durch

$\begin{align} L(t) f(n) &= a(n,t) f(n+1) + a(n,t) f(n-1) + b(n,t) f(n), \\ P(t) f(n) &= a(n,t) f(n+1) - a(n,t) f(n-1) \end{align}$

gegeben sind. Insbesondere kann das Toda-Gitter mithilfe der inversen Streutransformation (IST) für den Jacobi-Operator L gelöst werden. Das zentrale Ergebnis besagt, dass beliebige genügend stark abfallende Anfangsbedingungen asymptotisch für große Zeiten t durch eine Summe von Solitonen und einen abklingenden dispersiven Anteil gegeben ist.

Literatur

• G. Teschl, Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Mathematical Surveys and Monographs 72, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2 (freie Online-Version)
• M. Toda, Theory of Nonlinear Lattices, 2te Auflage, Springer, Berlin, 1989. ISBN 978-0387102245

Weblinks

• E. W. Weisstein, Toda Lattice at ScienceWorld
• G. Teschl, The Toda Lattice