Jacobi-Operator

Ein Jacobi-Operator, nach Carl Gustav Jakob Jacobi, ist ein symmetrischer linearer Operator der auf Folgen operiert und der in der durch Kronecker-Deltas gegebenen Standardbasis durch eine tridiagonale Matrix dargestellt wird.

Selbstadjungierte Jacobi-Operatoren

Der wichtigste Fall ist der von selbstadjungierten Jacobi-Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen über den positiven ganzen Zahlen $\ell^2(\mathbb{N})$. In diesem Fall ist $J: \ell^2(\N) \to \ell^2(\N), \, f \mapsto J\, f$ durch

$(J\, f)_n = \begin{cases} a_1 f_2 + b_1 f_1, & n=1,\\ a_n f_{n+1} + a_{n-1} f_{n-1} + b_n f_n, & n>1, \end{cases}$

gegeben, wobei die Koeffizienten

$a_n >0, \quad b_n \in \mathbb{R}$

erfüllen. Der zugehörige Operator ist genau dann beschränkt, wenn es die Koeffizienten sind. Im unbeschränkten Fall muss ein geeigneter Definitionsbereich gewählt werden.

Jacobi-Operatoren sind eng mit der Theorie der orthogonalen Polynome verknüpft: Die Lösung P_n(z) der Differenzengleichung

$J\, P_n(z) = z\, P_n(z), \qquad P_1(z)=1,$

ist ein Polynom vom Grad n und diese Polynome sind orthonormal bezüglich des Spektralmaßes das zum ersten Basisvektor δ_1,n gehört.

Anwendungen

Jacobi-Operatoren treten in vielen Bereich der Mathematik und Physik auf. Der Fall a_n = 1 ist als diskreter eindimensionaler Schrödingeroperator bekannt. Sie treten auch im Lax-Paar des Toda-Gitters auf.

Literatur

• G. Teschl, Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Mathematical Surveys and Monographs 72, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2 (freie Online-Version)