Wirbelfrei

Als wirbelfrei bzw. konservativ wird in der Physik und Potentialtheorie ein Vektorfeld $\vec X(\vec r)$ bezeichnet, in dem das Kurvenintegral

$\oint_S \vec X(\vec r) \cdot \mathrm d\vec s = 0$

für beliebige in sich geschlossene Randkurven S stets den Wert Null liefert. Deutet man $\vec X(\vec r)$ als Kraftfeld, ist das obige Ringintegral die gesamte längs der Randkurve S gegen die Kraft $\vec X(\vec r)$ verrichtete Arbeit, die dann und nur dann gleich Null und damit vom Weg unabhängig wird, wenn die der obigen Gleichung äquivalente Bedingung

$\mathrm{rot}\ \vec X(\vec r) = \vec 0 \Leftrightarrow \vec \nabla \times \vec X(\vec r) = \vec 0$

erfüllt ist. Wirbelfreie Vektorfelder lassen sich stets als Gradient eines zugrundeliegenden skalaren Felds $\Phi(\vec r)\$ formulieren, so dass außerdem die folgende Beziehung gilt:

$\mathrm{rot}\ (\mathrm{grad}\ \Phi(\vec r)) = \vec 0 \Leftrightarrow \vec \nabla \times (\vec \nabla \Phi(\vec r)) = \vec 0$^[1]

Wirbelfrei sind z. B. das ruhende elektrische Feld und das Gravitationsfeld, aber auch Felder wie das Geschwindigkeitsfeld einer Potentialströmung.

Siehe auch

• Quellfrei
• Satz von Stokes
• Rotation (Mathematik)

Einzelnachweise

1. ↑ [W.Gellert, H.Küstner, M.Hellwich, H.Kästner]; Kleine Enzyklopädie Mathematik; Leipzig 1970, S.549.