Elektrisches Feld

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Eine nirgends angeschlossene Leuchtstofflampe in der Nähe einer Hochspannungsleitung leuchtet aufgrund des elektrischen Feldes

Das elektrische Feld ist ein physikalisches Feld, das durch die Coulombkraft auf elektrische Ladungen wirkt. Das elektrische Feld ist ein allgegenwärtiges Phänomen, das die Ausbreitung von Licht und Funkwellen, die Übertragung von elektrischer Energie und die Funktion elektronischer Schaltungen erklärt. Zudem bewirkt es die Bindung von Elektronen an den Atomkern und nimmt so großen Einfluss auf die Gestalt der Materie.

Das elektrische Feld wird durch die Vektorfelder der elektrischen Feldstärke und der elektrischen Flussdichte beschrieben. Jedem Punkt im Raum sind somit zwei Vektoren zugeordnet, die jeweils durch eine Richtung und einen Betrag gekennzeichnet sind. Im Allgemeinen sind die elektrische Feldstärke und die elektrische Flussdichte voneinander unabhängig, so dass man zur vollständigen Beschreibung des Feldes nicht auf eine der Größen verzichten kann. Allerdings wird das Wort Feld auch oft als Kurzform für Feldstärke gebraucht, so z. B. in einigen der folgenden Abschnitte.

Elektrische Felder werden sowohl von Ladungen selbst als auch durch zeitliche Änderungen magnetischer Felder hervorgerufen. Die Eigenschaften des elektrischen Feldes werden zusammen mit den Eigenschaften des magnetischen Feldes in den Maxwell-Gleichungen beschrieben.

Allgemeines

Mathematische Beschreibung

Mathematisch wird das elektrische Feld durch die Vektorfelder der elektrischen Feldstärke $\vec{E}$ und der elektrischen Flussdichte $\vec{D}$ beschrieben.

• Das Vektorfeld der elektrischen Feldstärke ordnet jedem Punkt im Raum den orts- und zeitabhängigen Vektor $\vec{E}$ der elektrischen Feldstärke zu. Die elektrische Feldstärke beschreibt die Kraftwirkung auf Ladungen und lässt sich durch diese Kraftwirkung experimentell bestimmen. Wirkt an einem Ort $\vec{x}$ auf eine elektrische Probeladung q bei fehlendem magnetischen Feld die Kraft $\vec{F}(\vec{x})$, dann ist die elektrische Feldstärke $\vec{E}(\vec{x})$ definiert durch^[1]

$\vec{E}(\vec{x}) = {\vec{F}(\vec{x}) \over q}$.

Die Bestimmungsgleichung für die elektrische Feldstärke vernachlässigt dabei das Feld, das von der Probeladung selbst ausgeht.

• Das Vektorfeld der elektrischen Flussdichte ordnet jedem Punkt im Raum den orts- und zeitabhängigen Vektor $\vec{D}$ der elektrischen Flussdichte zu. Messtechnisch kann die elektrische Flussdichte nur indirekt erfolgen. Dabei werden zwei Eigenschaften der elektrischen Flussdichte genutzt:

1) Das Flächenintegral der elektrischen Flussdichte über eine geschlossene Fläche (z. B. eine Kugeloberfläche) ist dem gaußschen Gesetz entsprechend gleich groß wie die im eingeschlossenen Volumen enthaltene Ladung.

$\iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \mathbf D\;\cdot\mathrm{d}\mathbf A = \iiint_{V} \rho \ \mathrm{d}V = Q(V)$

Bemerkenswert an der Formulierung des gaußschen Gesetzes ist, dass das gaußsche Gesetz unabhängig von der Zeit gültig ist. Dementsprechend ist mit dem gaußschen Gesetz die Vorstellung verknüpft, dass das durch Ladungen hervorgerufene elektrische Quellenfeld im gesamten Raum schon vorhanden ist und sich nicht weiter ausbreitet.

2) Eine zeitliche Änderung der elektrischen Flussdichte hat die gleiche Wirkung wie ein elektrischer Strom und steht als sogenannter maxwellscher Verschiebungsstrom im erweiterten ampèreschen Gesetz.

$\oint_{\partial A}\boldsymbol H\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol s=\iint_A\boldsymbol j_l\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A+\iint_A{\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A}$

Die Energiedichte des elektrischen Feldes ergibt sich aus der elektrischen Feldstärke und der elektrischen Flussdichte über die Gleichung

$w_{el} = \frac{1}{2}\left(\vec E \cdot \vec D \right)$

Der Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstärke und der elektrischen Flussdichte ist vom Medium abhängig und ist aufgrund der elektrischen Polarisation im allgemeinen nichtlinear. Da die elektrische Polarisation in einem Material mit einer Ladungsverschiebung und damit einhergehend mit einem Energietransport verbunden ist, erfolgt die Polarisation nicht augenblicklich. In vielen Fällen sind die Einschwingvorgänge der Materie sehr schnell im Vergleich mit den betrachteten technischen Prozessen, und das Verhalten des Materials ist im eingeschwungenen Zustand linear, so dass man für viele Anwendungen einen Zusammenhang der Form

$\vec D = \epsilon_0 \epsilon_r \vec E$

mit der elektrischen Feldkonstanten $\epsilon_0$ und der Permittivitätszahl $\epsilon_r$ annimmt.

Im Vakuum mit $\epsilon_r=1$ ist der Zusammenhang zwischen beiden Feldern streng linear, und es gilt: $\vec D = \epsilon_0 \vec E$.

Verknüpfung mit dem magnetischen Feld

Das elektrische Feld in allgemeiner Form ist sowohl orts- als auch zeitabhängig, $\vec E(\vec r,t)$. Es ist über die maxwellschen Gleichungen und die spezielle Relativitätstheorie eng mit dem magnetischen Feld verknüpft. In der speziellen Relativitätstheorie werden seine Vektorkomponenten daher untrennbar mit denen des magnetischen Feldes zu einem Tensor zusammengefasst. Je nachdem, in welchem Bezugssystem man sich als Beobachter befindet, d. h. in welcher relativen Bewegung zu eventuell vorhandenen Raumladungen, wird so über die Lorentz-Transformation das elektrische Feld in ein magnetisches Feld transformiert und umgekehrt.

Unterschiede in der Elektrostatik und der Elektrodynamik

In der Elektrostatik werden ausschließlich ruhende Ladungen betrachtet. Ohne Ströme existiert kein Magnetfeld, das elektrostatische Feld ist deshalb nicht nur stationär, also zeitlich unveränderlich, sondern auch rotationsfrei, hat also ein Potential.

In der Elektrodynamik muss man auch elektrische Felder berücksichtigen, die durch zeitlich veränderliche Magnetfelder hervorgerufen werden (elektromagnetische Induktion). Ein besonders wichtiges Beispiel sind die elektromagnetischen Wellen wie Licht, die aus miteinander verketteten elektrischen und magnetischen Feldern bestehen. Aufgrund der engen Beziehung zwischen elektrischem und magnetischem Feld fasst man beide in der Elektrodynamik zum elektromagnetischen Feld zusammen.

Nahwirkung statt Fernwirkung

Bis zum Nachweis elektromagnetischer Wellen durch Heinrich Hertz, bestand die Frage, ob die Kräfte, die Ladungen aufeinander ausüben, unmittelbar im Sinne einer Fernwirkung oder unter Vermittlung durch den Raum im Sinne einer Nahwirkung zustandekommen.

• Der Prototyp eines einer Fernwirkungstheorie zugehörigen Gesetzes ist das coulombsche Gesetz. Den Vorstellungen einer Fernwirkungstheorie entsprechend, sind die wesentlichen Elemente der Anordnung beim Coulombschen Gesetz durch die Ladungen gegeben und treten (neben den erforderlichen Angaben zur Geometrie) sowohl in den Gleichungen für die Kraft, als auch in den Gleichungen für die Energie auf.

Ladungen, die sich an zwei verschiedenen Orten im Raum befinden, wirken aus der Ferne aufeinander, ohne dass es dazu einer Vermittlung durch den Raum bedarf. Die elektrischen Felder besitzen aus Sicht der Fernwirkungstheorie nur den Rang einer nachgeordneten Rechengröße.

• In einer Nahwirkungstheorie bestehen hingegen nur zwischen solchen Größen Zusammenhänge, die zum gleichen Zeitpunkt am gleichen Ort vorhanden sind. Ein Beispiel für eine Nahwirkungstheorie sind die Maxwellschen Gleichungen. Nach den Vorstellungen der Maxwellschen Gleichungen kommt die größte Bedeutung bei den elektrischen Erscheinungen den Feldern zu. Die elektrische Energie wird nicht als den Ladungen und Leitern anhaftend betrachtet, sondern befindet sich in den Isolatoren und im Vakuum und kann durch diese hindurch transportiert werden.

Solange nur langsame Veränderungen der elektrischen und magnetischen Größen betrachtet werden, ist es aus physikalischem Gesichtspunkt heraus nicht entscheidend, ob man mit den physikalischen Erscheinungen die eine oder andere Vorstellung verknüpft. Berücksichtigt man jedoch, dass sich mittels der elektromagnetischen Wellen Impuls und Energie im Raum ausbreiten können, so lässt sich die Vorstellung einer Fernwirkung nur schwer mit den Beobachtungen in Übereinstimmung bringen.

Zusammenfassend geht man aus heutiger Sicht davon aus, dass die Wechselwirkung zwischen den Ladungen von einem Feld vermittelt wird, und spricht von dem elektrischen Feld. Da die Kraft vom elektrischen Feld an der betreffenden Stelle abhängt, aber nicht direkt vom elektrischen Feld an anderen Punkten, handelt es sich um eine Nahwirkung. Ändert sich die Position einer der Ladungen, die mit dem elektrischen Feld einhergehen, so breitet sich die Änderung des Feldes mit Lichtgeschwindigkeit im Raum aus. Eine relativistische Betrachtung des elektrischen Feldes führt zum sogenannten elektromagnetischen Feld. Dieses kann sowohl Impuls, als auch Energie aufnehmen, und besitzt als Energie- und Impulsträger die gleiche Realität wie beispielsweise ein Teilchen.

Quantisierung des elektrischen Feldes

Siehe auch: Feldquantisierung in der QFT und Zweite Quantisierung

Im Rahmen der Quantenmechanik werden für gewöhnlich die Felder weiterhin als klassisch angesehen, auch wenn die Zustände der wechselwirkenden Teilchen quantisiert sind. Quantenfeldtheorien kombinieren Prinzipien klassischer Feldtheorien (zum Beispiel der Elektrodynamik) und beschreiben Teilchen und Felder einheitlich. Es werden nicht nur Observable (also beobachtbare Größen) wie Energie oder Impuls quantisiert, sondern auch die wechselwirkenden (Teilchen-)Felder selbst; die Felder werden also ähnlich wie Observablen behandelt. Die Quantisierung der Felder bezeichnet man auch als Zweite Quantisierung.

Feldlinienbilder

Ein elektrisches Feld kann sowohl durch elektrische Ladung als auch durch die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes verursacht werden. Eine anschauliche Vorstellung von elektrischen Feldern erhält man durch Feldlinienbilder. Diese bestehen aus orientierten (mit Pfeilen versehenen) Feldlinien. Dabei gilt:

• Die Feldlinien eines von Ladungen erzeugten elektrischen Feldes beginnen und enden an den Ladungen. Ein solches Feld wird als Quellenfeld bezeichnet.
• Änderungen des durch eine Fläche tretenden magnetischen Flusses erzeugen ein elektrisches Wirbelfeld. Bei diesem verlaufen alle elektrischen Feldlinien in sich geschlossen.

Die Richtung der Tangente in einem Punkt einer Feldlinie gibt die Richtung des Feldstärkevektors $\vec{E}$ an. Die Dichte (der Querabstand) der Feldlinien ist proportional dem Betrag der Feldstärke an dieser Stelle.

Elektrisches Feld einer Punktladung

Elektrisches Feld einer negativen bzw. positiven Ladung

Besonders einfach zu ermitteln ist das elektrische Feld einer Punktladung. Gemäß dem coulombschen Gesetz ergibt sich für die Feldstärke in einem gegebenen Punkt:

$\vec E = \dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0}\, \varepsilon_{r}} \cdot \dfrac{\vec e_r}{r^2}= \dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 \, \varepsilon_r} \cdot \dfrac{\vec r}{r^3}$

Dabei steht Q für die felderzeugende Ladung im Ursprung des Koordinatensystems, $\vec r$ für den Ortsvektor des gegebenen Punktes, $\vec{e_r} = \tfrac{\vec r}{r}$ für den zugehörigen Einheitsvektor, ε₀ für die elektrische Feldkonstante und $\varepsilon_r$ für die relative Permittivität.

Elektrisches Feld einer Ladungsverteilung

Wird das elektrische Feld durch mehrere Punktladungen $Q_1, \ldots, Q_n$ an den Positionen $\vec{r_1}, \ldots, \vec{r_n}$ erzeugt, so erhält man den Feldstärkevektor des Gesamtfeldes an der Position $\vec{r}$ gemäß dem Superpositionsprinzip durch Addition der einzelnen Feldstärkevektoren:

$\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \, \varepsilon_r} \sum\limits_{i=1}^n Q_i \frac{\vec{r} - \vec{r_i}}{|\vec{r} - \vec{r_i}|^3}$

Liegt eine kontinuierliche, durch die räumliche Ladungsdichte $\varrho(\vec{x})$ gegebene Ladungsverteilung vor, so gilt entsprechend:

$\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \, \varepsilon_r} \int \varrho(\vec{r'}) \frac{\vec{r} - \vec{r'}}{|\vec{r} - \vec{r'}|^3} \; dx'\,dy'\,dz'$

Weitere Beispiele für elektrische Felder

Elektrisches Feld einer Linienladung

Das elektrische Feld einer Linienladung (eines unendlich langen, geladenen Drahtes) mit der linearen Ladungsdichte $\lambda = \dfrac{Q}{L}$ ist gegeben durch

$\vec E = \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}} \cdot \dfrac{\vec e_r}{r}$

Dabei ist der Basisvektor $\vec{e_r}$ radial von der Linienladung zum Bezugspunkt gerichtet. Diese Formel kann mit Hilfe des gaußschen Gesetzes hergeleitet werden.

Elektrisches Feld einer Flächenladung

Feldlinien einer positiv geladenen, unendlich ausgedehnten Ebene

Eine Flächenladung (eine gleichmäßig geladene, unendlich ausgedehnte, dünne Platte) erzeugt auf beiden Seiten jeweils ein homogenes elektrisches Feld. Der Feldstärkevektor ist für einen beliebigen Punkt senkrecht zur Platte und bei positiver Ladung von der Platte weg gerichtet, bei negativer Ladung zur Platte hin. Setzt man die Flächenladungsdichte $\sigma = \dfrac{Q}{A}$ voraus, so hat die elektrische Feldstärke den Betrag

$E = \dfrac{\sigma}{2 \varepsilon_0 \varepsilon_r}$

Diese Formel kann mit Hilfe des gaußschen Gesetzes hergeleitet werden.

Homogenes elektrisches Feld (Plattenkondensator)

Elektrisches Feld in einem Plattenkondensator

Das elektrische Feld zwischen zwei (streng genommen unendlich großen) planparallelen Kondensatorplatten, die Ladungen von gleichem Betrag, aber verschiedenem Vorzeichen enthalten, ist annähernd homogen. Für den Betrag der Feldstärke gilt:

$E = \frac{U}{d} = \frac{Q}{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}$

Dabei ist d der Abstand zwischen den Platten, A die Fläche einer Kondensatorplatte, U die Spannung zwischen den beiden Platten und Q der Betrag der Ladung auf einer Platte. Das Potential ändert sich linear von einer Platte zur anderen um den Betrag U. Werden die Platten auseinanderbewegt, so bleibt die Feldstärke konstant, die Spannung steigt. Die gegen die elektrostatische Anziehung gleistete Arbeit steckt in der Energie des Feldes. Außerhalb des Kondensators ist die Feldstärke (im Idealfall) gleich 0.

Die Ladungen auf den Kondensatorplatten verteilen sich dabei gleichmäßig auf den einander zugewandten Plattenflächen. Die absoluten Beträge der Flächenladungsdichte

$\sigma = {Q \over A}$

und der elektrischen Flussdichte $\vec{D}$ stimmen überein. Allerdings ist σ eine skalare Größe, $\vec{D}$ dagegen vektoriell. Die Herleitung der Formel erfolgt mit Hilfe des gaußschen Gesetzes.

Elektrisches Feld eines Dipols

Elektrisches Feld eines Dipols.

Potential eines elektrischen Dipols.

Ein elektrischer Dipol, also eine Anordnung aus zwei Punktladungen + Q und − Q in geringem Abstand d, erzeugt ein rotationssymmetrisches Feld. Für die Feldstärkekomponenten parallel und senkrecht zur Dipolachse gilt in großem Abstand r in Richtung ϑ:

$\begin{align} E_\parallel &= \frac{Q d}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r} \cdot \frac{3\cos^2\vartheta-1}{r^3} \\ E_\perp &= \frac{Q d}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r} \cdot \frac{3\cos\vartheta\sin\vartheta}{r^3} \end{align}$

Dabei zeigt ϑ = 0 von der Mitte aus in Richtung der positiven Ladung.

Exakt gilt die Formel im Grenzübergang für verschwindendes d bei konstantem Betrag des Dipolmoments Qd.

Leiter im elektrischen Feld

Bringt man einen Leiter langsam in ein zeitlich konstantes äußeres Feld, so bewirkt es im Leiter eine Ladungsverschiebung (Influenz). Das Innere bleibt dabei frei von Raumladungen, während sich an der Oberfläche eine Ladungsverteilung einstellt, die das Innere des Leiters in der Summe gerade feldfrei hält. Außen stehen die Feldlinien stets und überall senkrecht auf der Leiteroberfläche, sonst würde die Querkomponente eine weitere Ladungsverschiebung bewirken. An Spitzen entstehen hohe Feldstärken.

Siehe auch

• Elektrostatisches Feld der Erde
• Ausnutzungsfaktor nach Schwaiger

Einzelnachweise

1. ↑ F. K. Kneubühl: Repetitorium der Physik, Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-43012-6, (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)

Literatur

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie: Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42018-5.

Weblinks

•  Wikibooks: Einführung in die Theoretische Physik – Ein Lehrbuch in mehreren Bänden, 8. Teil Elektrostatik – Lern- und Lehrmaterialien