Zirkulation (Feldtheorie)

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Die Zirkulation ist das Umlaufintegral des Vektorfeldes über einen geschlossenen Weg. Bei Strömungen ist sie ein Maß für die Wirbelstärke in dem vom Weg umschlossenen Gebiet.

Der Begriff wird in der Vektoranalysis, in der Strömungslehre und in der Elektrodynamik benutzt. Die Zirkulation kommt insbesondere im Satz von Stokes vor, der eine zentrale Rolle in der Elektrodynamik spielt.

Mathematische Formulierung

Ist W ein stückweise glatter, geschlossener und orientierter Weg im $\mathbb{R}^{n}$ (von besonderer Bedeutung ist hier der $\mathbb{R}^3$) und $\vec v$ ein längs dieses Weges integrierbares Vektorfeld, so heißt

$\oint_{W} \vec v(\vec r)\cdot \mathrm{d} \vec r$

Zirkulation von $\vec v$ längs W.

Ist ein Vektorfeld $\vec v$ auf einer orientierten und stückweise glatt berandeten Fläche A differenzierbar, so ist nach dem Satz von Stokes die Zirkulation von $\vec v$ längs des zu A gehörigen orientierten Randes $\partial A$ gleich dem Flächenintegral der Rotation von $\vec v$ über A:

$\oint_{\partial A} \vec{v}\cdot\mathrm{d} \vec r = \int_{A} \;\operatorname{rot}\; \vec v \cdot\mathrm{d} \vec A.$

Beispiel

Zirkulation des Magnetfeldes eines Stromfadens

Ein auf der z-Achse liegender Stromfaden, der in positiver z-Richtung mit dem Strom I durchflossen ist, wird von dem Magnetfeld

$\vec H(r,\varphi,z)= \vec e_\varphi \frac{I}{2\pi r}$

umgeben. Die Zirkulation dieses Vektorfeldes entlang eines Kreises $\vec r(\varphi) = r \vec e_r(\varphi)$ mit $\varphi\in[0,2\pi)$ und beliebigem positiven Radius r ist gleich dem Strom I:

$\oint_{W} \vec H(\vec r)\cdot\mathrm{d}\vec r =\int_{\varphi=0}^{2\pi} \vec e_\varphi \frac{I}{2\pi r}\cdot r\vec e_\varphi \mathrm{d}\varphi = I.$

Dieses Beispiel demonstriert, dass für die Anwendbarkeit des Stokes'schen Integralsatzes das betreffende Vektorfeld auf einer von der geschlossenen Kurve berandeten Fläche differenzierbar sein muss. Das Vektorfeld $\vec H$ aus diesem Beispiel ist auf der z-Achse nicht definiert. Die Zirkulation wird jedoch entlang eines Kreises gebildet, der die z-Achse umschließt. Der Stokes'sche Integralsatz ist also in diesem Fall nicht anwendbar. Das bestätigt sich dadurch, dass die Zirkulation von $\vec H$ entlang des Kreises den von null verschiedenen Wert I hat, obwohl das Vektorfeld $\vec H$ auf seinem gesamten Definitionsgebiet rotationsfrei ist ($\operatorname{rot}\;\vec H(r,\varphi,z)=0$ für r > 0).

Literatur

• Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag Berlin, 1993. ISBN 3-540-54723-1.
• Theodore Frankel: The Geometry of Physics (An Introduction). Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-38753-1.