Wirbelstärke

Die Wirbelstärke (Wirbelhaftigkeit, Vortizität, auch engl. Vorticity) stellt eine zentrale Größe der Strömungsmechanik und der Meteorologie dar und kann anschaulich als die Tendenz eines Fluidelements zur Eigendrehung um eine Achse beschrieben werden.

Die Wirbelstärke $\vec {\omega}$ ist definiert als die Rotation der Geschwindigkeit $\vec {u}$

$\vec{\omega} = \operatorname{rot}\ \vec{u} = \vec{\nabla} \times \vec{u}$

und ist somit ein Pseudovektorfeld, da die Rotation eines Vektorfelds immer ein Pseudovektorfeld ist. Allgemein kann jedem Vektorfeld eine Wirbelstärke zugeordnet werden. Die SI-Einheit der Wirbelstärke ist $\tfrac{1}{s}$.

Die Wirbelstärke ist gleich der flächenbezogenen Zirkulationsrate:

$\Gamma = \oint_{\partial A} \vec{v}\cdot\mathrm{d} \vec r = \int_{A} \;\operatorname{rot}\; \vec v \cdot\mathrm{d} \vec A \Rightarrow \vec{\omega} \vec{n} = \frac{d \Gamma}{dA}$^[1]

Vor allem in der Meteorologie wird für die Wirbelstärke auch das Formelzeichen ζ verwendet. Außer bei regelrechten Wirbeln wie beispielsweise Tornados liegen hier oft zweidimensionale Geschwindigkeitsfelder vor. Die entsprechende Vortizität lautet für Geschwindigkeitsfelder in der x-y-Ebene

$\vec{\zeta} = \operatorname{rot}\ \vec{u_{2D}} = \left(\frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y}\right)\vec{e_z}$

und zeigt in z-Richtung.

Hydrodynamik

In der Hydrodynamik ist die Vortizität die Rotation der Fluidgeschwindigkeit, die in Richtung der Rotationsachse beziehungsweise für zweidimensionale Flüsse senkrecht zur Flussebene orientiert ist. Für Fluide mit einer festen Rotation um eine Achse (beispielsweise einen rotierenden Zylinder) ist die Wirbelstärke ω gleich der doppelten Winkelgeschwindigkeit ω₀ des Fluidelements:

$\vec{\omega}=2\vec{\omega_0}$

$\vec{\omega} = \vec{\nabla} \times \vec{u} = \vec{\nabla} \times \left( \vec{\omega_0} \times \vec{r} \right) = \vec{\omega_0}\left( \vec{\nabla} \cdot \vec{r} \right) - \left( \vec{\omega_0} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{r} =3 \vec{\omega_0} - \vec{\omega_0} =2 \vec{\omega_0}$

Fluide ohne Wirbelstärke heißen rotations- oder wirbelfrei. Allerdings können auch Fluidelemente eines rotationsfreien Fluids eine Winkelgeschwindigkeit ungleich 0 besitzen, das heißt sich auf gekrümmten Bahnen bewegen - die Wirbelstärke bezieht sich auf erzwungene Wirbel.

Graphisch lässt sich die Wirbelstärke wie folgt darstellen:

Man betrachte ein infinitesimal kleines, quadratisches Gebiet einer Flüssigkeit. Wenn dieses Gebiet rotiert, ist die Wirbelstärke der Strömung ungleich null.

Die Vorstellung der Vortizität ist ein geeignetes Mittel für Flüssigkeiten mit kleiner Viskosität. Dann kann die Vortizität an fast allen Orten (mit Ausnahme einer kleinen Region) der Strömung als gleich null angesehen werden. Dies ist offensichtlich für zweidimensionale Strömungen, in denen der Fluss auf der komplexen Ebene dargestellt werden kann. Derartige Probleme können meist analytisch gelöst werden.

Für jede Strömung können die bestimmenden Gleichungen auf die Wirbelstärke anstatt der Geschwindigkeit durch einfaches Ersetzen bezogen werden. Dies führt zur sogenannten Wirbeldichtegleichung, die für inkompressible, nichtviskose Flüssigkeiten wie folgt lautet^[2]:

$\frac{D\vec{\omega}} {Dt} = \vec{\omega} \cdot \nabla u$

Auch für reale Strömungen (dreidimensional, endliche Reynoldszahl) ist die Betrachtung des Flusses über die Wirbelstärke mit Einschränkungen nutzbar, wenn man annimmt, dass das Vortizitätsfeld als eine Anordnung einzelner Wirbel darstellbar ist.

Wenn eine viskose Flüssigkeit vorliegt, diffundieren die Wirbel durch die Strömung. Dies wird durch die Wirbeltransportgleichung beschrieben.

$\frac{D\vec{\omega}} {Dt} = \vec{\omega} \cdot \nabla u + \frac{\eta}{\rho} \nabla^2 \vec{\omega}$

wobei $\scriptstyle \nabla ^2$ den Laplace-Operator darstellt^[3]. Hier wurde die Wirbeldichtegleichung durch den Diffusionsterm $\frac{\eta}{\rho} \nabla^2 \vec{\omega}$ ergänzt. Für hochviskose Strömungen, beispielsweise Couette-Strömungen, kann es deshalb sinnvoller sein, direkt das Geschwindigkeitsfeld des Fluids anstelle der Wirbelstärke zu betrachten, da die hohe Viskosität zu einer sehr starken Diffusion der Wirbel führt.

Der Begriff der Wirbellinie hängt eng mit der Wirbelstärke zusammen: Wirbellinien sind immer eine Tangente zur Wirbelstärke. Die Gesamtheit der durch ein Flächenelement dF gehenden Wirbellinien wird als Wirbelfaden bezeichnet. Die Helmholtzschen Wirbelsätze sagen aus, dass der Wirbelfluss $\iint \vec{\omega} d\vec{F}$ sowohl zeitlich als auch räumlich konstant ist.

Meteorologie

In der Meteorologie wird mit der Vortizität hauptsächlich die Rotation von Luft um eine Achse beschrieben. Die absolute Vortizität eines Volumenelements oder eines Körpers in der Meteorologie setzt sich aus zwei Summanden zusammen, der planetaren und der relativen Vortizität:

Aufgrund der Erddrehung erfährt jeder Körper in Erdnähe eine Rotation um die Erdachse und besitzt somit eine feste Vortizität. Diese wird durch den breitengradabhängigen Coriolisfaktor $f_c=2\cdot\omega_0\cdot\sin\varphi\approx 10^{-4}\tfrac{1}{s}$ bestimmt und als planetare Vortizität bezeichnet. Die relative Vortizität ist die mit der Eigendrehung des Körpers zusammenhängende Größe. Addiert ergibt sich die absolute Vortizität:

$\omega_{abs.}=\omega_{rel.}+f\$

Da in der Meteorologie meist zweidimensionale Strömungsfelder auftreten, wird die relative Vortizität oft durch die Rotation in zwei Dimensionen ausgedrückt:

$\vec{\zeta} = \operatorname{rot}\ \vec{u_{2D}}$

Damit ergibt sich für die absolute Vortizität

$\omega_{abs.} =\colon \eta =\zeta+f\$

Die Richtung des Wirbelstärke-Vektors lässt sich mit der Korkenzieherregel bestimmen: Dreht sich das Fluid gegen den Uhrzeigersinn, so zeigt die Wirbelstärke nach oben. η ist in diesem Fall positiv.

Auf der Nordhalbkugel wird Rotation gegen den Uhrzeigersinn, also mit positivem η, als zyklonale Rotation und Rotation mit dem Uhrzeigersinn, also mit negativem η, als antizyklonale Rotation bezeichnet. Auf der Südhalbkugel gilt dies entsprechend umgekehrt.

Umgewandelt in natürliche Koordinaten ergibt sich:

$\zeta = v \cdot K_s - \frac{\partial v}{\partial n}$

Dabei werden

$\zeta_C = v \cdot K_s$ als Krümmunsvortizität und

$\zeta_S = - \frac{\partial v}{\partial n}$ als Scherungsvortizität bezeichnet (vgl. ^[4])

K_s ist hier die Krümmung der Stromlinien, während n und s die Komponenten des Koordinatensystems sind.

Die Helmholtzschen Erhaltungssätze für den Wirbelfluss führen zum Begriff der potentiellen Vortizität: Durch Kombination der Wirbeldichtegleichung mit der Kontinuitätsgleichung kann man zeigen, dass

$PV=\frac{\eta}{\Delta p} = \frac{\zeta + f}{\Delta p}$

zeitlich erhalten ist. PV wird als potentielle Vortizität bezeichnet^[5].

Anmerkungen

Alternative Definition

In der Literatur ist ebenfalls die Definition

$\vec{\omega} = \frac{1}{2}\operatorname{rot}\ \vec{u}$

zu finden.^[6][7]

Nomenklatur

Die Begriffe Wirbelstärke, Wirbeldichte, Wirbelhaftigkeit, Wirbeligkeit, Wirbelung, Vortizität, Wirbelfaden sowie die Benennung der Wirbeldichte- und Wirbeltransportgleichung sind nicht klar definiert und somit schwer gegeneinander abgrenzbar. In der Literatur finden sich teilweise widersprüchliche Angaben und Definitionen.

Einzelnachweise

1. ↑ Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1: Mechanik, Relativität, Wärme, S. 564. de Gruyter, Berlin 1998. ISBN 3-11-012870-5
2. ↑ Prof. Dr. Roland Netz: Mechanik der Kontinua. Abgerufen am 25. Mai 2011. 
3. ↑ Wirbeltransportgleichungen. Abgerufen am 25. Mai 2011. 
4. ↑ Vorticity. Abgerufen am 25. Mai 2011. 
5. ↑ Atmosphärenphysik. Abgerufen am 25. Mai 2011. 
6. ↑ scienceworld.wolfram.com. Abgerufen am 25. Mai 2011. 
7. ↑ Hans Stephani, Gerhard Kluge: Theoretische Mechanik, S. 273. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995. ISBN 3-86025-284-4

Literatur

• Hans Stephani, Gerhard Kluge: Theoretische Mechanik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995. ISBN 3-86025-284-4
• Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1: Mechanik, Relativität, Wärme. de Gruyter, Berlin 1998. ISBN 3-11-012870-5
• Lew D. Landau, Jewgeni M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 6: Hydrodynamik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2007. ISBN 978-3-8171-1331-6
• Koji Ohkitani: Elementary Account Of Vorticity And Related Equations". Cambridge University Press, 2005. ISBN 0-521-81984-9
• Andrew J. Majda, Andrea L. Bertozzi: "Vorticity and Incompressible Flow. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-63948-4

Siehe auch

• Satz von Stokes
• Enstrophie