Zitterbewegung

Die Zitterbewegung ist eine theoretische, schnelle Bewegung von Elementarteilchen, speziell von Elektronen, die der Dirac-Gleichung gehorchen. Die Existenz einer solchen Bewegung wurde zuerst 1930 von Erwin Schrödinger als Ergebnis seiner Analyse von Wellenpaket-Lösungen der Dirac-Gleichung für relativistische Elektronen im Vakuum postuliert. In diesem produziert eine Interferenz zwischen dem positiven und negativen Energiezustand, welche als Fluktuation der Position des Elektrons um den Mittelwert erscheint. Diese Fluktuation hat eine Kreisfrequenz von $2 m c^2 / \hbar \,\!$, oder etwa 1,6 · 10²¹ Hz.

Die Zitterbewegung eines freien relativistischen Teilchens wurde nie beobachtet, aber das Verhalten eines solchen Teilchens wurde mit einem eingesperrten Ion simuliert, indem man es in eine Umgebung platziert hat, so dass die nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung für das Ion dieselbe mathematische Form wie die Dirac-Gleichung hat (obwohl die physikalische Situation anders ist).

Theorie

Aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung

$H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) \,\!$

wobei $H \,\!$ der Dirac-Hamiltonoperator für ein Elektron im Vakuum ist

$H = \left(\alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c\right) \,\!$

folgt im Heisenberg-Bild, dass jeder Operator Q der folgenden Gleichung gehorcht.

$-i \hbar \frac{\partial Q}{\partial t} (t)= \left[ H, Q \right] \,\!\;.$

Im speziellen ist der Zeitabhängigkeit Ortsoperator gegeben durch

$\hbar \frac{\partial x_k}{\partial t} (t)= i\left[ H, x_k \right] = c\alpha_k \,\!\;$

wobei $\alpha_k \equiv \gamma_0 \gamma_k$.

Die obige Gleichung zeigt, dass der Operator α_k als die k-te Komponente des „Geschwindigkeitsoperators“ interpretiert werden kann.

Die Zeitabhängigkeit des Geschwindigkeitsoperators ist gegeben durch

$\hbar \frac{\partial \alpha_k}{\partial t} (t)= i\left[ H, \alpha_k \right] = 2[i \gamma_k m - \sigma_{kl}p^l] = 2i[p_k-\alpha_kH] \,\!\;$

wobei $\sigma_{kl} \equiv \frac{i}{2}[\gamma_k,\gamma_l]$ ist.

Weil sowohl p_k als auch H zeitunabhängig sind, kann die obige Gleichung zweimal integriert werden um die explizite Zeitabhängigkeit des Ortsoperator zu erhalten. Zuerst:

$\alpha_k (t) = \alpha_k (0) e^{-2 i H t / \hbar} + c p_k H^{-1}$

Dann:

$x_k(t) = x_k(0) + c^2 p_k H^{-1} t + {1 \over 2 } i \hbar c H^{-1} (\alpha_k (0) - c p_k H^{-1}) (e^{-2 i H t / \hbar } - 1) \,\!$

dabei ist $x_k(t) \,\!$ der Ortsoperator zur Zeit $t \,\!$.

Die resultierende Ausdruck besteht aus einer Anfangsposition, einem Bewegungsanteil proportional zur Zeit und einem unerwarteten Schwingungsanteil mit einer Amplitude, die der Compton-Wellenlänge entspricht. Dieser Schwingungsterm wird "Zitterbewegung" genannt.

Interessanterweise verschwindet der Zitterbewegungsterm, wenn man die Erwartungswerte für Wellenpakete nimmt, die vollständig aus Wellen mit positiver Energie (oder komplett negativer Energie) bestehen. Dies kann durch die Foldy-Wouthuysen-Transformation erreicht werden. Damit kann die Zitterbewegung als durch Interferenz von positiven und negativen Energiezuständen betrachtet werden.

Siehe auch

• Casimir-Effekt
• Lamb-Verschiebung

Literatur

• E. Schrödinger, Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik, Berliner Ber., pp. 418-428 (1930); Zur Quantendynamik des Elektrons, Berliner Ber, S. 63-72 (1931)
• A. Messiah, Quantum Mechanics Volume II, Chapter XX, Section 37, pp. 950-952 (1962)
• George Sparling, Zitterbewegung, Seminaires & Congres 4,p. 277-305 (2000) (englisch)

Weblinks

• Die Zitterbewegungs-Interpretation der Quanten-Mechanik, eine alternative Erklärung über die Interferenz der positiven und negativen Energiezustände hinaus.(englisch)
• Zitterbewegung im New Scientist (englisch)
• Geometrische Algebra in der Quanten-Mechanik (englisch)
• Zusammenfassung zur Simulation von eingesperrten Ionen (englisch)