Heisenberg-Bild

Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen. Im Heisenberg-Bild gelten folgende Annahmen:

• Zustände sind nicht zeitabhängig: $|\psi\rangle={\rm const}$
• Operatoren sind zeitabhängig: $\hat A=\hat A(t)$
• Die Dynamik des Systems wird beschrieben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung.

Zur Kennzeichnung, dass man sich im Heisenberg-Bild befindet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index "H" versehen: $|\psi_{\rm H}\rangle$ bzw. $\hat A_{\rm H}(t)$

Aufgrund der hervorgehobenen Rolle der Operatoren in der Heisenbergschen Formulierung der Quantenmechanik wurde diese historisch auch als Matrizenmechanik bezeichnet.

Zwei weitere Modelle sind das Schrödinger-Bild und das Wechselwirkungsbild. Alle Modelle führen zu denselben Erwartungswerten.

Im Schrödingerbild vermittelt der unitäre Zeitentwicklungsoperator $\hat U(t)$ die Zeitentwicklung der Zustände ($\hat U^{\dagger}(t)$ ist der adjungierte Operator):

$|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\hat{U}(t)|\psi _{\text{S}}(0)\rangle$

$|\psi _{\text{S}}(0)\rangle =\hat{U}^{\dagger }(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle$

Im Heisenbergbild steckt die gesamte Zeitabhängigkeit in den Operatoren und die Zustände sind zeitunabhängig:

$|\psi _{\text{S}}(0)\rangle =|\psi _{\text{H}}\rangle$

Der Erwartungswert a des Operators $\hat A$ muss in allen Bildern gleich sein:

$a=\langle \psi _{\text{S}}(t)|\hat{A}_{\text{S}}(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|\underbrace{\hat{U}(t)\hat{U}^{\dagger }(t)}_{1}\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\underbrace{\hat{U}(t)\hat{U}^{\dagger }(t)}_{1}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \hat{U}^{\dagger }(t)\psi _{\text{S}}(t)|\hat{U}^{\dagger }(t)\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\hat{U}(t)\,|\hat{U}^{\dagger }(t)\psi _{\text{S}}(t)\rangle$

$a=\langle \psi _{\text{S}}(0)|\hat{U}^{\dagger }(t)\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\hat{U}(t)|\psi _{\text{S}}(0)\rangle =\langle \psi _{\text{H}}|\hat{A}_{\text{H}}(t)|\psi _{\text{H}}\rangle$

Der Operator $\hat A_{\rm H}(t)$ im Heisenberg-Bild ist somit gegeben durch den Operator $\hat A_{\rm S} (t)$ im Schrödinger-Bild:

$\hat A_{\rm H}(t)=\hat U^{\dagger}(t)\,\hat A_{\rm S}(t)\,\hat U(t)$

Es sei bemerkt, dass im Allgemeinen der Operator $\hat A$ sowohl im Heisenberg-Bild, als auch im Schrödinger-Bild zeitabhängig sein kann, ein Beispiel dafür ist ein Hamilton-Operator mit einem zeitabhängigen Potenzial.

Die Schrödinger-Gleichung für zeitabhängige Wellenfunktionen wird im Heisenberg-Bild ersetzt durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \hat A_{\rm H}(t)={\partial \over \partial t} \hat A_{\rm H}(t) +{i \over \hbar}[\hat H_{\rm H}(t)\mbox{,} \hat A_{\rm H}(t)] \; ,$

wobei $\left[\hat H_{\rm H}(t),\hat A_{\rm H}(t)\right]$ der Kommutator aus dem Hamilton-Operators $\hat H_{\rm H}(t)$ und $\hat A_{\rm H}(t)$ ist und ${\partial \over \partial t} \hat A_{\rm H}(t)$ als Abkürzung für $U^{\dagger}(t) {\partial \over \partial t} \hat A_{\rm S}(t) U(t)$ zu lesen ist.

Hängt der Hamiltonoperator im Schrödingerbild $\hat H_{\rm S}$ nicht von der Zeit ab, so gilt:

$\hat H_{\rm H}(t) = \hat H_{\rm S}$

Die Observable $\hat A$ heißt Erhaltungsgröße, wenn

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \hat A_{\rm H}(t)=0$.

Gilt diese Bedingung, dann ist $\langle A \rangle$ zeitunabhängig.

Siehe auch

• Schrödinger-Bild
• Wechselwirkungsbild