Damenproblem

a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h

Eine Lösung des 8-Damen-Problems

Das Damenproblem ist eine schachmathematische Aufgabe. Es sollen jeweils acht Damen auf einem Schachbrett so aufgestellt werden, dass keine zwei Damen einander nach den Schachregeln schlagen können. Die Figurenfarbe wird dabei ignoriert, und es wird angenommen, dass jede Figur jede andere angreifen könnte. Oder anders ausgedrückt: Es sollen sich keine zwei Damen die gleiche Reihe, Linie oder Diagonale teilen. Im Mittelpunkt steht die Frage nach der Anzahl der möglichen Lösungen.

Das Problem kann auf Schachbretter beliebiger Größe verallgemeinert werden. Dann gilt es, n nicht-dominierende Damen auf einem Brett von n x n Feldern zu positionieren. Für n = 8 hat das Damenproblem 92 verschiedene Lösungen. Betrachtet man Lösungen als gleich, die sich durch Spiegelung oder Drehung des Brettes aus einander ergeben, verbleiben noch zwölf Lösungen.

Geschichte

Erstmals formuliert wurde das Damenproblem von dem bayerischen Schachmeister Max Bezzel. In der Berliner Schachzeitung fragte er 1848 nach der Anzahl der möglichen Lösungen. Als erster nannte 1850 Franz Nauck in der Leipziger Illustrirten Zeitung die korrekte Zahl 92. Auch Carl Friedrich Gauß zeigte Interesse an dem Problem, weshalb es irrtümlich häufig auf ihn zurückgeführt wird. 1874 bewies der englische Mathematiker James Whitbread Lee Glaisher, dass es nicht mehr Lösungen geben kann.^[1] Damit war das ursprüngliche Problem vollständig gelöst.

Nauck verallgemeinerte die Problemstellung und fragte, auf wie viele verschiedene Arten n Damen auf einem n×n-Schachbrett aufgestellt werden können.

a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h

Symmetrische eindeutige Lösung, sorgt für 92 statt 96 verschiedene Lösungen (basierend auf 12 eindeutigen Lösungen)

1991 wurde von B. Bernhardsson eine explizite Lösung des n-Damen-Problems für jede beliebige Brettgröße im ACM SIGART Bulletin, Vol. 2, No. 7, angegeben.

Im Jahre 1992 fanden Demirörs, Rafraf und Tanik eine Äquivalenz zwischen magischen Quadraten und Damenproblemen.

Das Damenproblem tauchte auch in den Computerspielen The 7th Guest und The Whispered World auf. Im beliebten Nintendo DS Titel Professor Layton und das geheimnisvolle Dorf muss es vom Spieler in unterschiedlicher Form sogar mehrfach gelöst werden.

Anzahl der Lösungen im klassischen Damenproblem

Das klassische Problem mit acht Damen auf einem 8x8-Brett hat 92 verschiedene Lösungen. Wenn man solche, die durch Drehen oder Spiegeln des Brettes aufeinander abgebildet werden, nur einfach zählt, bleiben zwölf eindeutige Lösungen übrig (die unterschiedlichen Farben der Felder werden nicht beachtet). Da es für jede dieser reduzierten Lösungen vier Spiegelungen (an Diagonalen, Horizontale und Vertikale durch die Brettmitte) und vier Rotationen gibt, könnte man eine Gesamtzahl von 8·12=96 Lösungen vermuten. Da aber eine der Lösungen (siehe Diagramm) bei einer Drehung um 180° in sich selbst übergeht, lassen sich aus dieser nur vier verschiedene Lösungen konstruieren und es ergeben sich insgesamt 92 Lösungen.

Anzahl der Lösungen im verallgemeinerten Damenproblem

Das verallgemeinerte Damenproblem verlangt, n Damen auf einem Brett von n x n Feldern so zu positionieren, dass sie einander nicht bedrohen.

Anzahl der Lösungen bis zur Brettgröße 26×26

Die folgende Tabelle führt die Anzahl der eindeutigen Lösungen und die der gesamten Lösungen bis zur Brettgröße 26×26 auf:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
eindeutig	1	0	0	1	2	1	6	12	46	92	341	1.787	9.233	45.752	285.053	1.846.955	11.977.939	83.263.591
insgesamt	1	0	0	2	10	4	40	92	352	724	2.680	14.200	73.712	365.596	2.279.184	14.772.512	95.815.104	666.090.624

n	19	20	21	22	23	24
eindeutig	621.012.754	4.878.666.808	39.333.324.973	336.376.244.042	3.029.242.658.210	28.439.272.956.934
insgesamt	4.968.057.848	39.029.188.884	314.666.222.712	2.691.008.701.644	24.233.937.684.440	227.514.171.973.736

n	25 (Weltrekord – 2005)	26 (Weltrekord – 2009)
eindeutig	275.986.683.743.434	2.789.712.466.510.289
insgesamt	2.207.893.435.808.352	22.317.699.616.364.044

Die zuvor bekannte, aber nicht überprüfte Lösungszahl für n=12 wurde 1969 unabhängig voneinander von Torbjörn Lindelöf und Bernd Schwarzkopf per Computeranalysen bestätigt. Lindelöf errechnete dabei auch die Größen von n=13 und n=14.^[2] 1970 errechnete Lindelöf die Zahl für n=15 mit der Bemerkung, dass Computer die 50- bis 100-fache der zu dieser Zeit üblichen Rechenkapazität für größere Schachbretter benötigen.^[3]

Die Lösungszahl für n=26 wurde am 11. Juli 2009 vom Queens@TUD^[4]-Projekt mit FPGA-Lösern bestimmt und am 30. August 2009 vom MC#^[5]-Projekt auf zwei russischen Superrechnern der aktuellen TOP500-Liste bestätigt.

Allgemein lässt sich feststellen, dass die Anzahl der Lösungen etwas schneller als exponentiell mit der Brettgröße anwächst. Interessanterweise gibt es auf dem 2×2-Brett, sowie dem 6×6-Brett weniger Lösungen als auf dem jeweils kleineren Brett.

Anzahl der Lösungen für große n

Eine obere Schranke für die Lösungsanzahl D(n) des Damenproblems auf einem n×n-Brett ist n!. Dies ist die Anzahl von Lösungen für n einander nicht bedrohende Türme. Die Aufstellungen von einander nicht bedrohenden Damen sind eine echte Teilmenge hiervon.

Die asymptotische Form von D(n) ist nicht bekannt. Rivin et al. stellen die Vermutung auf, dass

$\lim_{n \to \infty} \frac{\log{D(n)}}{n \log{n}}=\beta>0$ ist.^[6]

Aus den bekannten Gliedern der Folge lässt sich weiterhin vermuten, dass für große n gilt:^[7] $D(n)\approx n! \cdot c^n$ mit $c\approx 0.39$.

Algorithmen zur Lösungssuche

Das Damenproblem ist ein gutes Beispiel für ein einfach zu formulierendes Problem mit nicht-trivialen Lösungen. Eine Reihe von Programmiertechniken ist geeignet, alle Lösungen zu erzeugen. Klassisch ist rekursives Backtracking; dieses ist besonders einfach zu realisieren mit logischer Programmierung. Eine weitere Möglichkeit sind genetische Algorithmen.

Derartige Ansätze sind wesentlich effizienter als ein naiver Brute-Force-Algorithmus, der (im 8×8 Fall) alle 64·63·62·61·60·59·58·57 (knapp 64⁸ = 2⁴⁸) möglichen Positionierungen der acht Damen durchprobiert und dabei alle Stellungen ausfiltert, in denen zwei Damen einander schlagen könnten. Dieser Algorithmus erzeugt mehrfach die gleichen Lösungen, wenn Permutationen der Damen gleiche Felder besetzen.

Ein effizienterer Brute-Force-Algorithmus platziert in jeder Reihe nur eine Dame und reduziert dadurch die Komplexität auf 8⁸ = 2²⁴ mögliche Stellungen.

Rekursives Backtracking

Animation des rekursiven Backtracking-Algorithmus

Das Damenproblem ist ein gutes Beispiel für ein einfaches, aber nicht triviales Problem, das durch einen rekursiven Algorithmus gelöst werden kann, indem das Problem mit n Damen so aufgefasst wird, dass es gilt, zu jeder Lösung mit n−1 Damen eine weitere Dame hinzuzufügen. Letztendlich lässt sich jedes Damenproblem damit auf ein Problem mit 0 Damen zurückführen, was nichts anderes als ein leeres Schachbrett ist.

Das folgende Python-Programm findet alle Lösungen des n-Damen-Problems mit Hilfe eines rekursiven Algorithmus. Ein n×n-Brett wird dabei rekursiv auf kleinere Bretter mit geringerer Anzahl an Reihen, n×n−1, n×n−2, … reduziert. Das Programm nutzt direkt aus, dass keine zwei Damen in der gleichen Reihe stehen. Außerdem wird benutzt, dass eine Lösung mit n−1 Damen auf einem n×n−1-Brett auf jeden Fall eine Lösung mit n−2 Damen auf einem n×n−2-Brett enthalten muss. (In anderen Worten, wenn man die untere (oder obere) Reihe der Teillösung eines n×n−1-Bretts entfernt, bleiben n−2 Damen auf einem n×n−2-Brett übrig, die wiederum eine Teillösung auf dem n×n−2-Brett darstellen.)

Der Algorithmus konstruiert also alle Lösungen aus den Lösungen eines jeweils kleineren Brettes. Da sichergestellt wird, dass die Teillösungen auf den kleinen Brettern konfliktfrei sind, spart dieser Algorithmus das Überprüfen vieler Stellungen. Insgesamt werden für das 8×8-Brett nur 15.720 Stellungen überprüft.

# Erzeuge eine Liste von Lösung auf einem Brett mit Reihen und Spalten.
# Eine Lösung wird durch eine Liste der Spaltenpositionen,
# indiziert durch die Reihennummer, angegeben.
# Die Indizes beginnen mit Null.
def damenproblem(reihen, spalten):
    if reihen <= 0:
        return [[]] # keine Dame zu setzen; leeres Brett ist Lösung
    else:
        return eine_dame_dazu(reihen - 1, spalten, damenproblem(reihen - 1, spalten))
 
# Probiere alle Spalten, in denen für eine gegebene Teillösung
# eine Dame in "neue_reihe" gestellt werden kann.
# Wenn kein Konflikt mit der Teillösung auftritt,
# ist eine neue Lösung des um eine Reihe erweiterten
# Bretts gefunden.
def eine_dame_dazu(neue_reihe, spalten, vorherige_loesungen):
    neue_loesungen = []
    for loesung in vorherige_loesungen:
        # Versuche, eine Dame in jeder Spalte von neue_reihe einzufügen.
        for neue_spalte in range(spalten):
            # print('Versuch: %s in Reihe %s' % (neue_spalte, neue_reihe))
            if kein_konflikt(neue_reihe, neue_spalte, loesung):
                # Kein Konflikte, also ist dieser Versuch eine Lösung.
                neue_loesungen.append(loesung + [neue_spalte])
    return neue_loesungen
 
# Kann eine Dame an die Position "neue_spalte"/"neue_reihe" gestellt werden,
# ohne dass sie eine der schon stehenden Damen schlagen kann?
def kein_konflikt(neue_reihe, neue_spalte, loesung):
    # Stelle sicher, dass die neue Dame mit keiner der existierenden
    # Damen auf einer Spalte oder Diagonalen steht.
    for reihe in range(neue_reihe):
        if loesung[reihe]         == neue_spalte              or  # Gleiche Spalte
           loesung[reihe] + reihe == neue_spalte + neue_reihe or  # Gleiche Diagonale
           loesung[reihe] - reihe == neue_spalte - neue_reihe:    # Gleiche Diagonale
                return False
    return True
 
for loesung in damenproblem(8, 8):
    print(loesung)

Dieser rekursiv programmierte Algorithmus kann leicht in einen nicht-rekursiven (iterativen) umgewandelt werden.

Constraintprogrammierung

Die Constraintprogrammierung über endliche Bereiche kann eine Aufgabe wie das Damenproblem sehr kompakt formulieren. Das folgende Prolog-Programm (in GNU Prolog) findet schnell eine Lösung auch für große Schachbretter.

 /* Dieses Prädikat erzeugt eine Liste, die eine einzige Lösung darstellt.
    Es ist sichergestellt, dass jeder Wert zwischen 1 und N genau einmal auftritt. */
 
 n_damen(N,Ls) :- length(Ls,N),
                fd_domain(Ls,1,N),
                fd_all_different(Ls),
                constraint_damen(Ls),
                fd_labeling(Ls,[variable_method(random)]).
 
 /* Dieses Prädikat stellt sicher,
    dass alle Stellungen die Lösungsbedingungen erfuellen */
 
 constraint_damen([]).
 constraint_damen([X|Xs]) :- nicht_schlagen(X,Xs,1), constraint_damen(Xs).
 
 /* Mit diesem Prädikat wird sichergestellt,
    dass zwei Damen nicht auf einer Diagonalen stehen */
 
 nicht_schlagen(_,[],_).
 nicht_schlagen(X,[Y|Xs],N) :- X#\=Y+N, X#\=Y-N, T#=N+1, nicht_schlagen(X,Xs,T).

Explizite Lösung

a b c d e f 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f

Konstruktionsvorschrift für gerades n, das bei Division durch sechs nicht den Rest zwei ergibt

Eine Konstruktionsvorschrift für eine spezielle Lösung mit beliebig großem n wurde erstmals 1874 von Pauls angegeben ^[8][9]. Hierdurch wurde also insbesondere bewiesen, dass das Damenproblem für beliebiges n>3 mindestens eine Lösung besitzt.

Für gerade n, die bei Division mit 6 den Rest 0 oder 4 ergeben, starte man in der zweiten Spalte der obersten Zeile und platziere eine Dame. Platziere die folgenden Damen jeweils zwei Spalten rechts und eine Zeile unter der vorigen, bis n/2 Zeilen gefüllt sind. Die Zeilen der unteren Bretthälfte erhält man aus der Spiegelung der oberen Damen am Mittelpunkt des Bretts.

Für gerade n, die bei Division mit 6 den Rest 2 ergeben (darunter das normale Schachbrett mit n=8) führt diese Vorschrift nicht zu einer gültigen Lösung. Für diesen Fall läßt sich eine alternative, etwas komplizierte Konstruktionsvorschrift angeben.^{[10] [11]}

Bei beiden Konstruktionsvorschriften bleiben alle Felder der langen Diagonale (links oben nach rechts unten) unbesetzt. Für ungerade n bilde man daher nach obigen Vorschriften eine gültige Lösung für n−1 und platziere die letzte Dame in die letzte Spalte der letzten Zeile.

Andere Methoden

Ein iterativer Reparaturalgorithmus beginnt mit einer beliebigen Stellung der Damen auf dem Brett. Es zählt dann die Anzahl der Konflikte, und versucht, durch Umpositionieren der Damen die Anzahl der Konflikte zu reduzieren. Effizient ist etwa, die Dame mit den meisten Konflikten senkrecht auf die Position zu verschieben, auf der die geringste Anzahl von Konflikten auftritt. Mit dieser Methode kann das 1.000.000-Damen-Problem ausgehend von einer „vernünftigen“ Versuchsposition gelöst werden. Derart große Bretter lassen sich mit expliziten Konstruktionsalgorithmen nicht lösen (triviale Lösungen ausgenommen); allerdings kann ein solcher Iterationsalgorithmus nicht mit Sicherheit eine Lösung finden.

Verwandte Problemstellungen

Andere Figuren

Das Problem kann auch für andere Schachfiguren (König, Läufer, Springer, Turm) formuliert werden.

Eine weitere Verallgemeinerung des Problems stellt das n-Superdamen-Problem dar. Superdamen dürfen wie Damen und Springer ziehen. Es ist nicht klar, wer Superdamen oder das n-Superdamen-Problem erfunden hat. In Mathematische Knobeleien (Vieweg-Verlag, 1973) erwähnt Martin Gardner eine Schachvariation, in der mit einer Superdame gespielt wird. Gardner nennt diese Figur dort Maharadscha. Andere kennen sie als Amazone.

Auch die Frage, auf wie viele Arten sich n Superdamen auf einem n×n-Schachbrett bedrohungsfrei platzieren lassen, wurde untersucht:^[12]

n	Lösungen	n	Lösungen	n	Lösungen	n	Lösungen	n	Lösungen	n	Lösungen
1	1	6	0	11	44	16	202.900	21	3.977.841.852	26	286.022.102.245.804
2	0	7	0	12	156	17	1.330.622	22	34.092.182.276
3	0	8	0	13	1.876	18	8.924.976	23	306.819.842.212
4	0	9	0	14	5.180	19	64.492.432	24	2.883.202.816.808
5	0	10	4	15	32.516	20	495.864.256	25	28.144.109.776.812

Seit 2001 existiert auch für das n-Superdamen-Problem eine explizite Lösung von Frank Schwellinger.

Angemerkt sei, dass das Springerproblem nicht die analoge Aufgabe für Springer ist, sondern eine Springerwanderung über das ganze Schachbrett.

Andere Brettgeometrie

George Pólya betrachtete das Damenproblem auf einem torusförmigen Brett. Er bewies, dass genau dann mindestens eine Lösung existiert, wenn n zu 6 teilerfremd ist, also weder durch 2 noch durch 3 teilbar ist. Auch dreidimensionale Verallgemeinerungen wurden untersucht.

Andere Aufgabenstellungen

Für ein n×n-Schachbrett bestimme die Dominanzzahl, das ist die Mindestzahl an Damen, die ausreicht, jedes Feld des Brettes zu beherrschen. Auf dem 8×8-Brett reichen 5 Damen aus.

Das 9-Damen-Problem verlangt, auf einem 8×8-Brett neun Damen und einen Bauern derart unterzubringen, dass die Damen einander nicht schlagen können. Dieses Problem kann wiederum auf beliebige Brettgröße und eine höhere Anzahl von Bauern verallgemeinert werden.

Siehe auch

• Schachkomposition
• Springerproblem

Literatur

• John J. Watkins: Across the Board: The Mathematics of Chess Problems. Princeton University Press, Princeton 2004, ISBN 0-691-11503-6.

Einzelnachweise

1. ↑ Evgeni J. Gik: Schach und Mathematik. Verlag Deutsch Harri GmbH, ISBN 3-87144-987-3.
2. ↑ Karl Fabel: Das n-Damen-Problem. In: Die Schwalbe, Heft 1, Oktober 1969. S. 20
3. ↑ Karl Fabel: Das n-Damen-Problem. In: Die Schwalbe, Heft 5, September 1970. S. 146
4. ↑ Queens@TUD, TU Dresden, Deutschland
5. ↑ MC#-Projekt
6. ↑ I. Rivin, I. Vardi, P. Zimmermann: The n-Queens Problem. In: The American Mathematical Monthly. Band 101, 1994, S. 629–639
7. ↑ Folge A000170 in OEIS
8. ↑ Pauls:Das Maximalproblem der Damen auf dem Schachbrete, Deutsche Schachzeitung, Bd. 29, 1874, p. 129-134, 257-267.
9. ↑ W. Ahrens: Mathematische Unterhaltungen und Spiele Band 1. Leipzig, 1901. (Digitalisat)
10. ↑ W. Ahrens: Mathematische Unterhaltungen und Spiele Band 1. Leipzig, 1901. (Digitalisat)
11. ↑ Hoffman et al. "Construction for the Solutions of the m Queens Problem". Mathematics Magazine, Band XX (1969), S. 66-72. pdf
12. ↑ Folge A051223 in OEIS

Weblinks

• Jeff Somers N-Queen-Quellcode (sehr gut beschrieben) (englisch)
• Takakens N-Queen-Quellcode (ca. 4 mal schneller als Jeff Somers Code wegen Symmetrieberücksichtigung) (englisch)
• Solutions to the 8-Queens Problem (englisch)
• MathWorld-Artikel (englisch)
• Durango Bills N-Damen-Seite (englisch)
• Algorithmus und Lösungen
• Berechnung der Lösungen für beliebige Brettgrößen in JavaScript auf ArsTechnica.de
• Literaturliste von Walter Kosters, Universiteit Leiden (englisch)
• Lösung und Hintergrund

Dieser Artikel wurde am 20. September 2005 in dieser Version in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen.