Determiniertheit (Mengenlehre)

Determiniertheit bezeichnet in der Mengenlehre eine Eigenschaft von Mengen reeller Zahlen.

Eine reelle Zahl wird hier als eine abzählbar unendliche Folge natürlicher Zahlen aufgefasst, beispielsweise $(1, 13, 2, 5, 88, 2,\ldots)$. Dies ist möglich aufgrund der Kettenbruchentwicklung, mit deren Hilfe sich jeder irrationalen Zahl eindeutig eine solche Folge zuordnen lässt.

Eine Menge reeller Zahlen M definiert ein Spiel auf die folgende Weise: Zwei Spieler A und B wählen abwechselnd je eine natürliche Zahl. Das Spiel endet, sobald unendlich viele Zahlen gewählt wurden. Durch dieses Spiel haben jetzt aber A und B eine Folge von natürlichen Zahlen, somit also eine reelle Zahl erzeugt. Liegt die erzeugte reelle Zahl nun in M, so hat A gewonnen, ansonsten B.

M heißt determiniert, falls für einen der beiden Spieler eine Gewinnstrategie existiert. In diesem Kontext versteht man unter einer Gewinnstrategie für einen Spieler eine Funktion, die auf der Menge aller Spielsituationen, in der das Spiel noch nicht beendet ist und er gerade am Zug ist, definiert ist. Der Wertebereich dieser Funktion ist die Menge der natürlichen Zahlen, d.h. die Funktion "sagt" dem Spieler, welche natürliche Zahl er in einer bestimmten Spielsituation spielen soll.

Im Standardaxiomensystem ZFC der Mengenlehre lässt sich Determiniertheit für alle Borelmengen beweisen. Als zusätzliche Axiome werden Projektive Determiniertheit (PD) und volle Determiniertheit (AD) untersucht. (PD) besagt hierbei, dass sogar alle projektiven Mengen reeller Zahlen determiniert seien, (AD), dass alle Mengen reeller Zahlen es seien. Letztere Aussage widerspricht allerdings dem Auswahlaxiom, so dass ZF + AD die in diesem Falle untersuchte Theorie ist.

Literatur

• Gale, D. and F. M. Stewart: Infinite games with perfect information. In: Ann. Math. Studies. 28, 1953, S. 245–266.
• Jech, Thomas: Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer 2002, ISBN 3-540-44085-2
• Kanamori, Akihiro: The Higher Infinite. Springer 2003, ISBN 3-540-88866-7
• Kechris, Alexander S.: Classical Descriptive Set Theory. Springer 1995, ISBN 3-540-94374-9
• Martin, Donald A.: Borel determinacy. In: Annals of Mathematics. Second Series. 102, Nr. 2, 1975, S. 363–371.
• Moschovakis, Yiannis N.: Descriptive Set Theory. North Holland 1980, ISBN 0-444-70199-0
• Neeman, Itay: The Determinacy of Long Games. de Gruyter 2004, ISBN 3-110-18341-2