- Diracmaß
-
Das Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein Mengenmaß der Maßtheorie.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Es liege ein messbarer Raum
vor. Zu jedem Punkt
wird sein Diracmaß (auch Punktmaß) δz definiert, indem man festlegt, dass jede messbare Menge
(also
) das Maß 1 hat, wenn sie den Punkt z enthält, und das Maß 0, wenn sie ihn nicht enthält:
Es entsteht durch diese Definition der Maßraum
, welcher auch ein Wahrscheinlichkeitsraum ist, da die Gesamtmasse δz(Ω) = 1 ist. Beim Diracmaß δz ist die Einheitsmasse im Punkt z konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.
Mit Hilfe der charakteristischen Funktion χ, kann man diesen Sachverhalt auch durch
für alle
und
ausdrücken.
Integral
Sei wieder
ein Maßraum und
der Raum der reellen Zahlen ausgestattet mit der Borelschen σ-Algebra. Ferner sei die messbare Abbildung
gegeben.
Für alle
und
gilt
Als einelementige Teilmenge von
ist
. Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist
und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.
Falls
, so ist auch eine Integration über
und
möglich.
Siehe auch
Literatur
- Elliott H. Lieb & Michael Loss: Analysis, American Mathematical Society, Second Edition, 2001, ISBN 0-8218-2783-9
Wikimedia Foundation.