Diracmaß

Das Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein Mengenmaß der Maßtheorie.

Definition

Es liege ein messbarer Raum $(\Omega,\mathfrak{U})$ vor. Zu jedem Punkt $z\in\Omega$ wird sein Diracmaß (auch Punktmaß) δ_z definiert, indem man festlegt, dass jede messbare Menge $A\subseteq \Omega$ (also $A\in\mathfrak{U}$) das Maß 1 hat, wenn sie den Punkt z enthält, und das Maß 0, wenn sie ihn nicht enthält:

$\delta_z(A) := \begin{cases} 1\ , & \text{falls } z \in A\ , \\ 0\ , & \mathrm{sonst}\ . \end{cases}$

Es entsteht durch diese Definition der Maßraum $(\Omega,\mathfrak{U},\delta_z)$, welcher auch ein Wahrscheinlichkeitsraum ist, da die Gesamtmasse δ_z(Ω) = 1 ist. Beim Diracmaß δ_z ist die Einheitsmasse im Punkt z konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion χ, kann man diesen Sachverhalt auch durch

$\,\delta_z(A) = \chi_A(z)$

für alle $z\in\Omega$ und $A\in\mathfrak{U}$ ausdrücken.

Integral

Sei wieder $(\Omega,\mathfrak{U})$ ein Maßraum und $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ der Raum der reellen Zahlen ausgestattet mit der Borelschen σ-Algebra. Ferner sei die messbare Abbildung $f:\Omega\to \mathbb{R}$ gegeben.

Für alle $z\in\Omega$ und $A\in\mathfrak{U}$ gilt

$\begin{align} \int\limits_A f\,\mathrm d\delta_z &= \int\limits_{A\cap f^{-1}(\{f(z)\})} f\,\mathrm d\delta_z + \int\limits_{A\setminus f^{-1}(\{f(z)\})} f\,\mathrm d\delta_z \\&= \int\limits_{\{x\in A \mid f(x) = f(z)\}} f\,\mathrm d\delta_z + \int\limits_{\{x\in A \mid f(x) \ne f(z)\}} f\,\mathrm d\delta_z \\ &= f(z)\chi_A(z) + 0 \\ &= f(z)\chi_A(z) \\ &= \begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not\in A\end{cases}\end{align}$

Als einelementige Teilmenge von $\mathbb{R}$ ist $\{f(z)\}\in\mathcal{B}$. Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist $f^{-1}(\{f(z)\})\in\mathfrak{U}$ und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls $\{z\}\in\mathfrak{U}$, so ist auch eine Integration über $A\cap\{z\}$ und $A\setminus\{z\}$ möglich.

Siehe auch

• Zählmaß
• Lebesgue-Maß
• Delta-Distribution

Literatur

• Elliott H. Lieb & Michael Loss: Analysis, American Mathematical Society, Second Edition, 2001, ISBN 0-8218-2783-9