Dirichletbedingung

Funktionen, insbesondere periodische Funktionen, werden in der Mathematik oft in Fourierreihen entwickelt. Die Dirichlet-Bedingung (benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet) gibt an, wann die Fourierreihe punktweise gegen die entwickelte Funktion konvergiert.

Sei f eine im Intervall [ − T / 2,T / 2] definierte Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:

1. Das Intervall [-T/2,T/2] lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen f(t) stetig und monoton ist.
2. Ist t₀ eine Unstetigkeitsstelle von f(t), so existieren rechts- und linksseitiger Grenzwert, f(t₀ + ) und f(t₀ − )

Dann konvergiert die Fourierreihe in jedem $t \in [-T/2,T/2]$ gegen

$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cdot \cos(n \omega t) + b_n \cdot \sin(n\omega t)) = \begin{cases} f(t), & \mbox{wenn }f\mbox{ in t stetig} \\ (f(t+)+f(t-))/2, & \mbox{wenn }f\mbox{ in t unstetig} \end{cases}$.