Dirichlet-Verteilung

Beispiele einer Dirichlet-Verteilung mit K=3 für verschiedene Parametervektoren α. Im Uhrzeigersinn von oben links: α=(6, 2, 2), (3, 7, 5), (6, 2, 6), (2, 3, 4).

Die Dirichletverteilung (nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet) ist eine Familie von stetigen, multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Sie ist die multivariate Erweiterung der Beta-Verteilung und die konjugierte A-priori-Verteilung der multinomialen Verteilung in Bayesscher Statistik. Ihre Dichtefunktion gibt die Wahrscheinlichkeiten von K verschiedenen, exklusiven Ereignissen an, wenn jedes Ereignis α_i − 1 mal beobachtet wurde.

Veranschaulichung

Die multinomiale Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeiten p₁ bis p_k für k unterschiedliche Ereignisse an, also z.B. wie wahrscheinlich es ist, in einem Wurf eine Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf oder Sechs zu würfeln. Im Gegensatz dazu gibt die Dirichlet-Verteilung an, wie wahrscheinlich eine solche Verteilung auftritt. Im Falle einer Würfelfabrik könnte die Dirichlet-Verteilung also angeben, wie wahrscheinlich die Verteilungen der Würfelergebnisse bei den fabrizierten Würfeln sind. Funktionieren die Maschinen der Würfelfabrik korrekt, wäre die Wahrscheinlichkeit für alles andere als die uniforme Verteilung (alle Augenzahlen sind gleich wahrscheinlich) sehr gering. Das entspräche einem Parametervektor α mit gleichen und sehr hohen Elementen wie etwa (1000,1000,1000,1000,1000,1000). Hingegen würde α = (1000,500,500,500,500,500) bedeuten, dass die Maschinen Würfel fabrizieren, bei denen die Augenzahl 1 doppelt so häufig vorkommt wie jede andere Augenzahl. Und dies fast ausnahmslos, da die Werte wiederum sehr hoch sind und damit die Varianz niedrig. Sind die Werte in α aber z.B. alle 0,1 würden Würfel hergestellt werden, die eine starke Tendenz zu einer Augenzahl haben. Welche die bevorzugte Augenzahl eines Würfels ist wäre zufällig und ohne Tendenz zu bestimmten Augenzahlen, da alle Werte in α gleich sind. Je kleiner die Werte, desto seltener sind Würfel, die nicht nur eine Augenzahl ergeben.

Dichtefunktion

Die Dirichletverteilung der Ordnung K ≥ 2 mit den Parametern α₁,...,α_K > 0 hat folgende Dichtefunktion:

$f(x_1,\dots, x_{K}; \alpha_1,\dots, \alpha_K) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha)} \prod_{i=1}^K x_i^{\alpha_i - 1}$

für alle x₁,...,x_{K − 1} > = 0 mit x₁ + ... + x_{K − 1} < = 1 und x_K = 1 − (x₁ + ... + x_{K − 1}). Daher ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten x_i,i = 1...K gleich 1.

Die normierende Konstante ist die multinomiale Betafunktion, welche durch Gammafunktionen dargestellt werden kann:

$\mathrm{B}(\alpha) = \frac{\prod_{i=1}^K \Gamma(\alpha_i)}{\Gamma\bigl(\sum_{i=1}^K \alpha_i\bigr)},\qquad\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_K).$

Weblinks

• Eintrag in der Encyclopedia of Mathematics (Springer)
• Skript, S. 37 (PDF, 248 KiB)
• Multivariate Verteilungen (Skript), S. 9 (PDF, 78 KiB)

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta