Dirichletsche Sprungfunktion

Die Dirichlet-Funktion (nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet, manchmal auch als Dirichletsche Sprungfunktion bezeichnet) ist eine mathematische Funktion, die üblicherweise mit D(x) bezeichnet wird und folgendermaßen definiert ist:

$D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational} \end{cases}$

Sie ist ein Beispiel für

• eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches unstetige Funktion,
• eine Funktion der zweiten Klasse in der Klassifikation von Baire:

$D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}m!\pi x$,

• eine Lebesgue-integrierbare Funktion, die aber nicht Riemann-integrierbar ist.

Riemann-Integrierbarkeit

Die Dirichlet-Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann-integrierbar, da für jede Zerlegung Z im Teilintervall $\left [ x_{k-1}, x_k \right ]$ stets sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und somit

die Untersumme $U(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)$

stets 0 ist (weil das Infimum stets 0 ist) und

die Obersumme $O(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\sup_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)$

stets die Länge des Intervalles über das integriert wird ist (weil das Supremum immer 1 ist und somit einfach die Länge der einzelnen Teilintervalle addiert wird).

Riemann-Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit, also dass gilt:

$\begin{matrix}\text{Oberintegral} & = & \text{kl. Obersumme} & = & \text{gr. Obersumme} & = & \text{Unterintegral} \\ \overline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx & = & \inf_ZO(Z) & = & \sup_ZU(Z) & = & \underline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx\end{matrix}$

Da aber für jede beliebigen Zerlegungen die Unter- und Obersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren, ist D(x) auf keinem Intervall Riemann-integrierbar.

Lebesgue-Integrierbarkeit

Da die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion ist, also eine Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nichtnegativ sind, lässt sich das Lebesgue-Integral über ein beliebiges Intervall I wie folgt schreiben:

$\int_{I} D(x)\lambda(\mathrm dx) = 0 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) + 1 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{Q}),$

wobei λ für das Lebesgue-Maß steht.

Bei jedem beliebigen Wert von $\lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$ ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0. Das gilt aufgrund einer Konvention in der Maßtheorie auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Im Gegensatz dazu ist $\lambda(I \cap \mathbb{Q})$ stets 0, da die Punktmenge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen abzählbar ist.

Insgesamt ergibt sich damit für die Dirichlet-Funktion in jedem Intervall:

$\!\ \int_{I} D(x)\lambda(\mathrm dx) = 0$

Verwandte Funktion

Eine verwandte Funktion ist auf [0;1] wie folgt definiert:

$f(x) := \begin{cases} 1,& \mbox{wenn } x=0, \\ 0 & \mbox{wenn } x \mbox{ irrational } \\ \frac 1q, & \mbox{wenn } x=\frac pq \mbox{ mit } p, q \in \N \mbox{ und } \operatorname{ggT}(p,q)=1 \end{cases}$

Sie ist an jeder rationalen Stelle ihres Definitionsbereich unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig und auch integrierbar:

$\int\limits_0^1 f(x) \mathrm d x = 0.$

Sie wird unter anderem etwa Thomaes Funktion genannt (en).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dirichlet-Funktion auf MathWorld (englisch)