Dirichlet-Funktion

Dirichlet-Funktion

Die Dirichlet-Funktion (nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet, manchmal auch als Dirichletsche Sprungfunktion bezeichnet) ist eine mathematische Funktion, die üblicherweise mit D bezeichnet wird. Sie ist die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen und somit definiert als:

D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational}\ , \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational}\ . \end{cases}

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

Die Dirichlet-Funktion ist ein Beispiel für

D(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x),

Riemann-Integrierbarkeit

Die Dirichlet-Funktion ist in keinem echten Intervall Riemann-integrierbar, da für jede Zerlegung Z im Teilintervall \left [ x_{k-1}, x_k \right ] stets sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und somit

die Untersumme U(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\inf_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)

stets 0 ist (weil das Infimum stets 0 ist) und

die Obersumme O(Z)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot\sup_{x_{k-1}<x<x_k}f(x)

stets die Länge des Intervalles über das integriert wird ist (weil das Supremum immer 1 ist und somit einfach die Länge der einzelnen Teilintervalle addiert wird).

Riemann-Integrierbarkeit verlangt aber gerade die Gleichheit, also dass gilt:

\begin{matrix}\text{Oberintegral} & = & \text{kl. Obersumme} & = & \text{gr. Untersumme} & = & \text{Unterintegral} \\ \overline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx & = & \inf_ZO(Z) & = & \sup_ZU(Z) & = & \underline{\int\limits_a^b}f(x)\,\mathrm dx\end{matrix}

Da aber für jede beliebigen Zerlegungen die Unter- und Obersummen nicht gegen den gleichen Wert konvergieren, ist D auf keinem Intervall Riemann-integrierbar.

Lebesgue-Integrierbarkeit

Da die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion ist, also eine messbare Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nicht negativ sind, lässt sich das Lebesgue-Integral über ein beliebiges Intervall I wie folgt schreiben:

\int_{I} D{\rm d}\lambda = 0 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) + 1 \cdot \lambda(I \cap \mathbb{Q}),

wobei λ für das Lebesgue-Maß steht.

Bei jedem beliebigen Wert von \lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) ergibt sich aus der Multiplikation mit 0 das Resultat 0. Das gilt aufgrund einer Konvention in der Maßtheorie auch dann, wenn der andere Faktor unendlich ist. Im Gegensatz dazu ist \lambda(I \cap \mathbb{Q}) stets 0, da die Punktmenge \mathbb{Q} der rationalen Zahlen abzählbar ist.

Insgesamt ergibt sich damit für die Dirichlet-Funktion in jedem Intervall:

\!\ \int_{I} D{\rm d}\lambda = 0.

Verwandte Funktion

Eine verwandte Funktion ist auf [0;1] wie folgt definiert:

f(x) := \begin{cases} 1\ ,& \mbox{wenn } x=0\ , \\ 0\ , & \mbox{wenn } x \mbox{ irrational}\ , \\ \frac 1q\ , & \mbox{wenn } x=\frac pq \mbox{ mit } p, q \in \N \mbox{ und } \operatorname{ggT}(p,q)=1\ . \end{cases}

Sie ist an jeder rationalen Stelle ihres Definitionsbereich unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig und im Gegensatz zur Dirichlet-Funktion auch Riemann-integrierbar:

\int\limits_0^1 f(x) {\mathrm d}x = 0.

Sie wird unter anderem etwa Thomaesche Funktion genannt.

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Funktion (Mathematik) — In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y… …   Deutsch Wikipedia

  • Funktion [2] — Funktion bezeichnet in der Mathematik, aber auch sonst die Abhängigkeit einer Größe von einer oder von mehreren andern. So ist der Flächeninhalt eines Quadrats eine F. der Seite des Quadrats, der Widerstand, den ein aus einem Geschütz… …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Dirichlet-Reihe — Dirichletreihen sind Reihen, die in der analytischen Zahlentheorie verwendet werden, um zahlentheoretische Funktionen mit Methoden aus der Analysis, insbesondere der Funktionentheorie zu untersuchen. Viele offene zahlentheoretische… …   Deutsch Wikipedia

  • Dirichlet-Reihen — Dirichletreihen sind Reihen, die in der analytischen Zahlentheorie verwendet werden, um zahlentheoretische Funktionen mit Methoden aus der Analysis, insbesondere der Funktionentheorie zu untersuchen. Viele offene zahlentheoretische… …   Deutsch Wikipedia

  • Dirichlet-Faltung — Eine zahlentheoretische oder auch arithmetische Funktion ist eine Funktion, die jeder positiven natürlichen Zahl einen Funktionswert aus den komplexen Zahlen zuordnet. Diese Funktionen dienen in der Zahlentheorie dazu, Eigenschaften von… …   Deutsch Wikipedia

  • Dirichlet-Randbedingung — Als Dirichlet Randbedingung (nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet) bezeichnet man im Zusammenhang mit Differentialgleichungen (genauer: Randwertproblemen) Werte, die auf dem jeweiligen Rand des Definitionsbereichs von der Funktion angenommen… …   Deutsch Wikipedia

  • Dirichlet-Problem — Als Dirichlet Randbedingung (nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet) bezeichnet man im Zusammenhang mit Differentialgleichungen (genauer: Randwertproblemen), Werte, die auf dem jeweiligen Rand des Definitionsbereichs von der Funktion angenommen… …   Deutsch Wikipedia

  • Dirichlet-Rand — Als Dirichlet Randbedingung (nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet) bezeichnet man im Zusammenhang mit Differentialgleichungen (genauer: Randwertproblemen), Werte, die auf dem jeweiligen Rand des Definitionsbereichs von der Funktion angenommen… …   Deutsch Wikipedia

  • Dirichlet'sche Eta-Funktion — Die dirichletsche η Funktion in der komplexen Zahlenebene. In der Zahlentheorie ist die dirichletsche η Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805−1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der …   Deutsch Wikipedia

  • Dirichlet'sche η-Funktion — Die dirichletsche η Funktion in der komplexen Zahlenebene. In der Zahlentheorie ist die dirichletsche η Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805−1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”