- Duffing-Oszillator
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Der Duffing-Oszillator ist ein nichtlinearer Oszillator. Er kann als Erweiterung des harmonischen Oszillators, dessen Potential das lineare hookesche Gesetz zu Grunde liegt, um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden. Sein Verhalten wird durch folgende Differentialgleichung mit den zeitlichen Ableitungen von x beschrieben:
δ ist die Dämpfung, γ,ω0 sind die Amplitude und Frequenz der Anregung, α,β sind systemspezifische Parameter, welche die nichtlineare, rücktreibende Kraft charakterisieren.
Duffing-Oszillator ohne Anregung
Die Zustandsraumdarstellung des ungetriebenen Duffing-Oszillators ist
Für den stationären Fall gilt
und damit
- und .
Die Gleichung liefert für drei stationäre Lösungen
Diese sind nur dann reell, wenn ist. Zur Beurteilung, welche dieser stationären Lösungen stabil sind wird das Differentialgleichungssystem um diese Punkte linearisiert. Die Jacobi-Matrix des Systems
hat für die Eigenwerte
und für die Eigenwerte
- .
Die Bedingung liefert zwei Fälle.
Fall 1: und
- hat einen negative Realteile, d.h. dieser Punkt ist stabil.
- hat einen positiven Realteil, d.h. diese Punkte sind instabil.
Fall 2: und
- hat positive Realteile, d.h. dieser Punkt ist instabil.
- hat negative Realteile, d.h. diese Punkte sind stabil.
Die Differenzialgleichung
mit beschreibt den stabilen Duffing-Oszillator.
Siehe Auch
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