Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix oder Ableitungsmatrix genannt) einer differenzierbaren Funktion $f\colon {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^m} \,\!$ ist die $m \times n$-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Sie bildet die Matrix-Darstellung der ersten Ableitung der Funktion f bezüglich der Standardbasen des $\R^n$ und des $\R^m$. Sie wird mit J_f , Df, $\textstyle\frac{\partial f}{\partial x}$ oder $\textstyle\frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}$ bezeichnet.

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Definition

Sei $f : U \subset \R^n \to \R^m$ eine Funktion, deren partielle Ableitungen alle existieren, mit den Komponentenfunktionen $f := (f_1 , \ldots f_m)$. Außerdem werden mit $x := (x_1, \dots, x_n)$ die Koordinaten im Urbildraum $\R^n$ bezeichnet. Für $a \in U$ ist die Jacobi-Matrix im Punkt a dann durch

$J_f(a) := \frac{\partial {f}}{\partial {x}}(a) := \frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}(a) := \left(\frac{\partial f_i(a)}{\partial x_j}\right)_{i=1,\ldots,m;\ j=1,\ldots,n}$ ,

beziehungsweise ausführlich durch

$J_f(a) := \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_1(a)}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m(a)}{\partial x_n} \end{pmatrix}$

definiert.

Beispiel

Die Funktion $f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2$ sei gegeben durch $f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c} x^2 + y^2 + z \cdot \sin(x) \\ z^2 + z \cdot \sin(y) \end{array} \right )$

Dann ist

$\frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c} 2x + z \cdot \cos(x) \\ 0 \end{array} \right ), \;\;$

$\frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c} 2y \\ z \cdot \cos(y) \end{array} \right ), \;\;$

$\frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c} \sin(x) \\ 2z + \sin(y) \end{array} \right )$

und damit die Jacobi-Matrix

$J_f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{ccc} 2x + z \cdot \cos(x) & 2y & \sin(x) \\ 0 & z \cdot \cos(y) & 2z + \sin(y) \end{array} \right )$

Anwendungen

• Ist die Funktion $f : U \subset \R^n \to \R^m$ total differenzierbar, so ist die Jacobi-Matrix eine Koordinatendarstellung der Ableitung von f.

• Für m = 1 entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von f. Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.

• Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für einen Punkt $p = (p_1,\dots,p_n)$ ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von f in der Nähe von p verwendet werden:
  $f(x_1,\dots,x_n) \approx f(p_1,\dots,p_n) + J_f(p_1,\dots,p_n) \begin{pmatrix}x_1 - p_1 \\ \vdots \\ x_n - p_n \end{pmatrix}.$
  Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

• Die Fortpflanzung von Messfehlern in Form einer Kovarianzmatrix geschieht durch die Jacobi-Matrix: $V_f = J\cdot V_x\cdot J^T$

Determinante der Jacobi-Matrix

→ Hauptartikel: Jacobi-Determinante

Sei m = n, es wird also eine differenzierbare Funktion $f \colon U \subset \R^n \to \R^n$ betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix J_f(a) am Punkt $a \in U$ eine quadratische $n \times n$-Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix det(J_f(a)) bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt a ungleich null, so ist die Funktion f in einer Umgebung von a invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist $m \neq n$, so kann man natürlich keine Determinante der $m \times n$-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird gramsche Determinante genannt.

Jacobi-Matrix einer holomorphen Funktion

Neben Funktionen $f : U \subset \R^n \to \R^m$ kann man auch Funktionen $h : V \subset \C^n \to \C^m$ auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion $h := (h_1, \ldots , h_m) : V \subset \C^n \to \C^m$ kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine $m \times n$ mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine $2m \times 2n$-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die $m \times n$-Jacobi-Matrix $J_h^\C(z)$ am Punkt $z := (z_1, \ldots , z_n) \in V \subset \C^n$ ist durch

$J_h^\C(z) := \begin{pmatrix} \frac{\partial h_1(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_1(z)}{\partial z_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_n} \end{pmatrix}$

definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen $u,v \colon \R^n \to \R^m$, sodass h = u + iv gilt. Die Funktionen u und v kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien $z := (z_1, \ldots , z_n)$ die Koordinaten in $\C^n$ und setze z_j: = x_j + iy_j für alle j. Die $2m \times 2n$-Jacobi-Matrix $J_h^\R(z)$ der holomorphen Funktion h am Punkt $z \in V$ ist dann definiert durch

$J_h^\R(z) := \begin{pmatrix} \frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_1(z)}{\partial y_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial u_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_m(z)}{\partial y_n}\\ \frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_1(z)}{\partial y_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial v_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_m(z)}{\partial y_n} \end{pmatrix}$.

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen m = n, so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

$\det\left(J_h^\R(z)\right) = \left|\det(J_h^\C(z))\right|^2$.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8. (für Jacobi-Matrizen reeller Funktionen)
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95395-7. (S. 30-31; für Jacobi-Matrizen holomorpher Funktionen)