Ehrenfest-Modell

Das Ehrenfest-Modell (auch als Ehrenfest-Kette bekannt) ist ein stochastisches Modell, das den Stoffaustausch zwischen zwei durch eine Membran getrennte Behältnisse beschreibt. Das Modell wurde zuerst durch den österreichischen Physiker Paul Ehrenfest (1880–1933) vorgeschlagen und ist einer von vielen Beiträgen der Physik zur Entwicklung der mathematischen Theorie der stochastischen Prozesse.

Das Modell

Bei verschiedenen Substanzen wurde beobachtet, dass die Verteilung der Substanz in einem solchen Experiment im Laufe der Zeit zwar einem Gleichgewichtszustand entgegenstrebt, aber dennoch auch nach Erreichen desselben stets unkontrollierbaren, scheinbar zufälligen Schwankungen ausgesetzt bleibt.

Diesen Umstand versuchte das folgende Modell zu erklären:

Zu Beginn befinden sich in beiden Behältern zusammen eine endliche Anzahl von N Partikeln; etwa die einzelnen Moleküle des Stoffes, wovon sich $l_0 \le N$ im linken und analog $r_0=N-l_0 \le N$ im rechten Behälter aufhalten. In jedem Zeitschritt wird nun genau eines dieser N Teilchen gleichverteilt ausgewählt, das den Behälter wechselt, sodass l und r in jedem Schritt genau um eins ansteigen oder fallen.

Mathematisch gesehen handelt es sich bei diesem zufälligen Vorgang um eine Markov-Kette $(l_t)\;t\in \N_0$ mit Zustandsraum $\{0, 1, 2, \ldots N\}$ und einer Übergangsmatrix Π, gegeben durch

$\Pi_{a,b}=\begin{cases} \frac{a}{N},&\text{falls }b=a-1\\ \frac{N-a}{N},&\text{falls }b=a+1\\ 0 &\text{sonst}\end{cases}$.

Mathematische Eigenschaften

• Die oben definierte Ehrenfest-Kette besitzt eine eindeutig bestimmte stationäre Verteilung: ist die Anzahl $\ell_n$ der Teilchen im linken (oder rechten) Behälter binomialverteilt mit Parameter $\frac{1}{2}$, ist also $P(\ell_n=k)={\binom Nk}\frac{1}{2^N}$ für $k=0, 1,\ldots N$, so hat $\ell_{n+1}$ dieselbe Verteilung.

• Die Konvergenz der Kette gegen diese Verteilung ist allerdings nicht gegeben, da die Kette periodisch ist (das erkennt man daran, dass $\ell_n$ stets zwischen geraden und ungeraden Zahlern wechselt und somit $P(\ell_n=k)$ jedes zweite Mal gleich Null ist). Dies kann man umgehen, in dem man zur aperiodischen Version der Kette übergeht und die Übergangsmatrix Π für eine festen Parameter $p \in ]0,1[$ durch die Matrix $\hat{\Pi}:=p I_{N+1}+ (1-p)\Pi$ ersetzt (dabei ist I_{N + 1} die Einheitsmatrix).
  Interpretation: mit Wahrscheinlichkeit p bleibt die Anzahl der Teilchen in den Behältern unverändert, mit Wahrscheinlichkeit 1-p ändert sie sich nach dem oben beschriebenen Verfahren.
  Dadurch wird die Kette aperiodisch und konvergiert für $n\to \infty$ gegen die stationäre Verteilung, die sich durch diese Modifikation nicht ändert.