Einparameter-Untergruppe

In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Damit ist eine Einparameter-Untergruppe keine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne.

Definition

Einparameter-Untergruppen von Lie-Gruppen

Sei G eine Lie-Gruppe, dann ist eine Abbildung $\varphi : \mathbb R \rightarrow G$ eine Einparameter-Untergruppe, wenn die Abbildung glatt und ein Gruppenhomomorphismus ist.

Beispiele

• Die stetigen Gruppenhomomorphismen $\mathbb R \to \mathbb R$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in sich selber sind genau die Abbildungen $x \mapsto \lambda x$ für ein festes $\lambda \in \mathbb R$.
• Die stetigen Gruppenhomomorphismen $\mathbb R \to \mathbb R^\times$ von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen $x \mapsto a^x$ für ein festes $a \in \R_{>0}$.

Literatur

• John Frank Adams, Lectures on Lie groups, Benjamin, 1969