Einstein-Smoluchowski-Beziehung

Im Bereich der kinetischen Gastheorie ist die Einstein-Smoluchowski-Beziehung, auch Einstein-Gleichung genannt, eine Beziehung, die zuerst Albert Einstein (1905) und danach Marian Smoluchowski (1906) in ihren Schriften zur Brownschen Bewegung aufdeckten:

D = μk_BT.

Die Gleichung verknüpft D, den Diffusionskoeffizienten, und μ, die Beweglichkeit der Teilchen. k_B bezeichnet die Boltzmannkonstante und T die Absolute Temperatur.

Es handelt sich um ein frühes Beispiel für eine Fluktuations-Dissipations-Beziehung.

Diffusion von Teilchen

In Bereichen mit niedriger Reynolds-Zahl ist die Beweglichkeit μ der Kehrwert des Strömungskoeffizienten γ. Für kugelförmige Teilchen mit Radius r liefert die Stokessche Gleichung

$\gamma = 6 \pi \, \eta \, r,$

wobei η die Viskosität des Mediums bezeichnet. Die Einstein-Gleichung lässt sich somit umformen in:

$D = \frac{k_\mathrm{B} T}{6\pi\,\eta\,r}$.

Diese Form wird auch Stokes-Einstein-Gleichung genannt. Sie kann genutzt werden um den Diffusionskoeffizienten eines globulären Proteins in wässriger Lösung zu bestimmen: Für ein Protein von 100 kDa erhalten wir D ~10^-10 m²s^-1, wobei wir eine Dichte von ~1,2 10³ kg m^-3 annehmen.

Elektrische Leitfähigkeit

Auf die elektrische Leitfähigkeit bezogen teilt man für gewöhnlich durch die Ladung q des Ladungsträgers und definiert die Elektronenbeweglichkeit

$\mu = \frac{v_d}{E}$

wobei E das wirkende elektrische Feld ist. Die Einstein-Gleichung wird somit zu

$D = \frac{\mu \, k_\mathrm{B} T}{q}$

Für einen Halbleiter mit beliebiger Zustandsdichte lautet die Einstein-Gleichung

$D = \frac{\mu \, p}{q \frac{d\, p}{d \eta}}$

mit dem chemischen Potential μ und der Teilchenzahl p.