Einstein-Relation

In der Statistischen Physik leitet sich im Rahmen der sog. „linear response“-Theorie das Fluktuations-Dissipations-Theorem quantitativ-rigoros aus dem statistischen Operator des Systems ab, und zwar am besten mit Hilfe der sog. LSZ-Reduktion oder der damit zusammenhängenden Källén-Lehmann-Darstellung. Es handelt sich um eines der grundlegendsten und schwierigsten Ergebnisse der Quantenstatistik, das hier in voller Allgemeinheit nicht wiedergegeben werden kann.

Inhaltlich besagt das Theorem, dass die Reaktion eines Systems im thermischen Gleichgewicht auf eine kleine äußere Störung die gleiche ist wie seine Reaktion auf spontane Fluktuationen und dass speziell der sog. „dissipative Anteil“ dieser Reaktion (d. h. der „Reibungsanteil“) direkt zu den Fluktuationen proportional ist. Dies kann genutzt werden, um eine explizite Beziehung herzustellen zwischen Molekulardynamik im thermischen Gleichgewicht und der makroskopischen Reaktion auf kleine zeitabhängige Störungen, die in dynamischen Messungen beobachtet werden kann. Dadurch erlaubt das Fluktuations-Dissipations-Theorem, mikroskopische Modelle der Gleichgewichts-Statistik zu benutzen, um quantitative Vorhersagen über Materialeigenschaften zu machen, auch wenn diese Abweichungen vom Gleichgewicht beschreiben.

Dissipativer und reaktiver Anteil der Reaktionsfunktion (gerader und ungerader Anteil im Frequenzspektrum) sind über sog. Kramers-Kronig-Beziehungen miteinander verknüpft.

In seiner ursprünglichen Form besagt das Fluktuations-Dissipations-Theorem, dass die Reibung eines in einem Lösungsmittel suspendierten Teilchens in quantitativem Zusammenhang mit den von den Flüssigkeitsmolekülen hervorgerufenen Teilchen-Fluktuationen steht.

Das genannte Theorem ist aber u. a. in folgender Hinsicht eine wesentliche Verschärfung: Es betrifft nicht nur thermische, sondern auch Quanten-Fluktuationen, und zwar in ganz präziser, aber sehr komplexer Weise. Es sei nur vermerkt, dass nach dem Theorem das aus zwei quantenmechanisch messbaren Größen A und B in bestimmter Art gebildete Fluktuationsspektrum Φ_A,B und das zugehörige Dissipationsspektrum χ''_A,B als Funktion von Kreisfrequenz ω und Kelvin-Temperatur T folgendermaßen zusammenhängen

$\phi_{A,B}(\omega )={\hbar}\cdot \coth \left(\frac{\beta\hbar\omega}{2} \right)\cdot \chi''_{A,B}(\omega )\,,$

d. h. die beiden Größen Φ und χ'' sind in präziser Weise zueinander proportional. Dabei wird Ergodizität vorausgesetzt (d. h. das Theorem gilt nicht für Glas-Systeme). Ferner ist β im Wesentlichen die reziproke Temperatur, und zwar gilt β = 1 / (k_BT), mit der Boltzmann-Konstante k_B. Die Funktion coth(x) ist der hyperbolische Cotangens, $\hbar$ ist das Plancksche Wirkungsquantum, geteilt durch 2π. Für hohe Temperaturen, niedrige Frequenzen bzw. allgemein unter klassischen Bedingungen, $\hbar\to 0$, vereinfacht sich der Vorfaktor vor χ'' zu $\frac{2 k_\mathrm{B} T}{\omega}\,.$

Anwendungen des Theorems

Einstein-Relation

Einstein merkte 1905 in seiner Veröffentlichung zur Brownschen Molekularbewegung an, dass dieselben zufälligen Kräfte, die die ziellose Bewegung eines Teilchens aufgrund der Brownschen Bewegung bewirken, einen Widerstand hervorrufen, wenn das Teilchen durch die Flüssigkeit gezogen wird. Anders gesagt: Die Fluktuationen des eigentlich in Ruhe befindlichen Teilchens haben denselben Ursprung wie die dissipative Reibungskraft, gegen die man arbeiten muss, wenn man das Teilchen in eine bestimmte Richtung zieht. (Ein ähnliches Resultat erreichte Marian Smoluchowski 1906).

Aufgrund dieser Beobachtung war es ihnen möglich, mithilfe der Statistischen Mechanik eine unerwartete Beziehung herzuleiten, die Einstein-Smoluchowski-Beziehung:

$D=\mu\, k_{\mathrm{B}}T$

Sie verknüpft die Diffusionskonstante D (entsprechend der fluktuierenden Kraft) mit der Mobilität µ der Teilchen (entsprechend der Dissipation). Hierbei ist µ das Verhältnis der Endgeschwindigkeit v_d, die das Teilchen unter der Wirkung einer äußeren Kraft F erreicht, μ = v_d / F, k_B ist die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur.

Langevin-Gleichung

Für die fluktuierende Kraft n(t) in einer Langevin-Gleichung gilt das als „weißes Rauschen“ bezeichnete Gesetz:

$<n(t)n(t')> = \frac{2 k_\mathrm{B} T}{\mu}\delta(t-t')$.

Thermisches Rauschen in einem Widerstand

Fließt bei einem Widerstand kein Strom, so gilt

$\langle V^2 \rangle = 4R k_\mathrm{B} T\Delta\nu$

Hierbei ist V die Spannung, R der Widerstand und Δν die Bandbreite, über die die Spannung gemessen wird. Dieses Johnson–Nyquist Rauschen wurde 1928 von John B. Johnson entdeckt und von Harry Nyquist erklärt.

Siehe auch

• Brownsche Bewegung
• Diffusion
• Langevin-Gleichung
• Fokker-Planck-Gleichung

Weblinks

• Gallavotti Fluctuations, Scholarpedia