Erreichbarkeitsproblem in Graphen

Das Erreichbarkeitsproblem in Graphen (auch STCON, GAP, PATH oder REACH) behandelt die Frage, ob es in einem Graphen einen Weg von einem Knoten s zu einem Knoten t gibt. Existiert solch ein Weg, so ist t von s aus erreichbar. Andernfalls ist t von s aus nicht erreichbar.

Die Abkürzung STCON steht für engl. s-t-Connectivity, GAP für engl. Graph Accessibility Problem und REACH für engl. Reachability. Das analoge Problem für ungerichtete Graphen heißt USTCON.

Das Erreichbarkeitsproblem ist ein NL-vollständiges Problem. Es lässt sich beispielsweise mit Hilfe der Breitensuche oder der Tiefensuche lösen.

Aussagen und Sätze

• In ungerichteten Graphen ist jeder Knoten von jedem anderen Knoten aus genau dann erreichbar, wenn der Graph zusammenhängend ist.
• In gerichteten Graphen ist dies genau dann der Fall, wenn der Graph stark zusammenhängend ist.
• Das Problem STCON ist NL-vollständig.
• Das Problem STCON ist in DSPACE(o(log(n)²) (Satz von Savitch)
• Das Problem USTCON liegt in der Komplexitätsklasse L.

Beweisidee für STCON ist NL-vollständig

Es ist zu zeigen, dass jedes Problem in NL auf STCON reduziert werden kann und STCON in NL liegt.

1. Für STCON in NL muss man einen geeigneten Algorithmus angeben. Eine nichtdeterministische Turingmaschine (NTM) rät hierzu den (korrekten) Nachfolgerknoten, um den gesuchten Knoten zu finden. Der Platzverbrauch ist O(1), da lediglich der aktuelle Knoten gespeichert werden muss.
2. Die Probleme in NL sind solche, die auf logarithmischen Platz von einer NTM gelöst werden können. Eine jede Turingmaschine besitzt einen Konfigurationsgraphen, welcher die verschieden Konfigurationen einer TM beschreibt (die Kopfposition, den Bandinhalt und den Zustand). Der Konfigurationsgraph einer NTM, welcher uns ein Problem in NL löst, ist, da die Mengeninklusion $NL \subseteq P$ gilt, von maximal polynomieller Größe. Um einen Weg, und damit eine Lösung für ein beliebiges Problem in NL zu finden, müssen wir nun lediglich das folgende Problem lösen: "Gibt es einen Weg vom Anfangszustand zum akzeptierenden Zustand?" Die Lösung für dieses Problem kann uns der oben angegebene Algorithmus liefern.

Quellen

• Christos H. Papadimitriou: Computational Complexity. Addison Wesley, ISBN 978-0201530827