Erweitern

Erweitern eines Bruches bedeutet, dass man den Zähler und den Nenner des Bruches mit der gleichen Zahl (aber nicht mit 0) multipliziert. Der Wert des Bruches bleibt dabei gleich. Die Zahl, mit der man erweitert, wird als Erweiterungsfaktor bezeichnet. Die Umkehrung des Erweiterns ist das Kürzen eines Bruchs.

Beispiel

Der Bruch $\tfrac{2}{3}$ kann auf den Bruch $\tfrac{4}{6}$ erweitert werden, indem der Zähler (oben) und Nenner (unten) jeweils mit dem Faktor 2 multipliziert werden:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$ = $\frac{4}{6}.$

Anwendungen

Das Erweitern wird insbesondere beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen benötigt. Dabei werden die beteiligten Brüche gleichnamig gemacht, sodass ihre Nenner übereinstimmen.

Beispiel: Gesucht ist die Summe der Brüche $\tfrac{3}{4}$ und $\tfrac{5}{6}$.

Die beiden Nenner sind 4 und 6. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen ist der gesuchte kleinste gemeinsame Nenner (Hauptnenner) dieser Zahlen:

Vielfache von 4:    4, 8, 12, 16, 20, ...

Vielfache von 6:    6, 12, 18, 24, 30, ...

Wir erkennen, dass 12 der kleinste gemeinsame Nenner ist. Für unsere Aufgabe bedeutet das, dass wir den ersten Summanden (mit dem Nenner 4) mit 3 erweitern müssen (wegen 12 : 4 = 3), den zweiten Summanden (mit dem Nenner 6) dagegen mit 2 (wegen 12 : 6 = 2). Es ergibt sich:

$\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3\cdot3}{4\cdot3}$ + $\frac{5\cdot2}{6\cdot2} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12}.$

Da wir jetzt für beide Summanden einen gemeinsamen Nenner gefunden haben, brauchen wir nur noch die folgende Regel anzuwenden: Gleichnamige Brüche werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und den Nenner beibehält:

$\frac{9}{12}$ + $\frac{10}{12}$ = $\frac{19}{12}.$

Das Ergebnis $\tfrac{19}{12}$ kann auch als gemischte Zahl geschrieben werden:

$\frac{19}{12}$ = ${1}+\frac{7}{12}$ = ${1}\frac{7}{12}.$