Subtraktion

Unter der Subtraktion (auch Minus-Rechnen) versteht man das Abziehen einer Zahl von einer anderen. Mathematisch handelt es sich bei der Subtraktion um eine zweistellige Verknüpfung. Die Subtraktion gehört zu den Grundrechenarten der Arithmetik. Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition.

Sprachregelungen und Grundeigenschaften

Das Rechenzeichen für die Subtraktion ist das Minuszeichen „−“. Es wurde 1489 von Johannes Widmann eingeführt.

• Die Zahl, von der etwas abgezogen wird, heißt Minuend (lateinisch „der zu verringernde“).
• Die Zahl, die abgezogen wird, heißt Subtrahend (lateinisch „der abzuziehende“).
• Der Rechenausdruck (Term), der den Minuenden, das Minus-Zeichen und den Subtrahenden umfasst, heißt Differenz.
• Das Ergebnis einer Subtraktion ist der Wert der Differenz (auch Differenzwert oder auch kurz nur Differenz).
• Das Symbol für Differenzen als Terme ist der griechische Großbuchstabe Delta „Δ“, der auch als Operator für die Differenzbildung benutzt wird (siehe unten). Häufig wird als Differenz – besonders im alltäglichen Sprachgebrauch – allerdings nur das Ergebnis dieser „Minusrechnung“, noch häufiger der Betrag dieses Ergebnisses bezeichnet. Beispiel: Die Differenz zwischen 7 und 9 und die Differenz zwischen 5 und 3 beträgt 2. Im Beispiel wird dies durch das Verb „beträgt“ betont.

Merkhilfen (mit Berücksichtigung des Vorzeichens!):

• Minuend minus Subtrahend gleich Wert der Differenz.
• Wert der Differenz = Minuend − Subtrahend oder
• Minuend − Subtrahend = Wert der Differenz
• (Eselsbrücke: Minuend kommt im Alphabet vor Subtrahend )

Beispiele (mit Berücksichtigung des Vorzeichens!):

• 1 weniger 4 ist −3
• 4 weniger 1 ist 3 oder anders geschrieben: 4 − 1 = 3.
• Exakt formuliert heißt das auch: 4 minus 1 ist gleich 3.
• Dabei ist 4 der Minuend, 1 stellt den Subtrahenden dar, der Rechenausdruck (Term) 4 − 1 ist die Differenz und das Ergebnis 3 bildet den Wert der Differenz bzw. den Differenzwert.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist bezüglich der Subtraktion nicht abgeschlossen, das heißt mit der Subtraktion erzielt man eventuell ein Ergebnis, das den Bereich der natürlichen Zahlen überschreitet.

• Beispiel: 1 − 4 = −3

Mathematische Definition

Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition. In Gruppen lässt sich zu jedem gegebenen a und b ein x finden, so dass gilt:

$b + x = a \!$

Die Bestimmung von x heißt Subtraktion. x lässt sich bestimmen, indem man b von a subtrahiert („abzieht“):

$x = a - b \!$

a heißt der Minuend, b der Subtrahend. Das Ergebnis einer Subtraktion, hier x, heißt Wert der Differenz. Eine Subtraktion wird mit dem Minuszeichen notiert:

$a - b \!$

Rechenhilfe

Da die Subtraktion eine Addition mit dem inversen Element ist, kann eine Subtraktion auch in Form einer Addition geschrieben werden, indem der Subtrahend vorher mit dem Faktor −1 multipliziert wird:

$a - b = a + (-1) \cdot b = a + (-b)$

Schriftliche Subtraktion

Die schriftliche Subtraktion ist neben der schriftlichen Addition eine der grundlegenden Kulturtechniken, die bereits in den ersten Schuljahren der Grundschule erlernt wird. Die Beherrschung der schriftlichen Subtraktion ist Voraussetzung für das Erlernen der schriftlichen Division.

Vertikale Subtraktion mit Überträgen

In den Grundschulen werden heute meist Verfahren gelehrt, bei denen die einander entsprechenden Stellen der Minuenden und Subtrahenden übereinander stehen. Die Stellen werden nacheinander abgearbeitet, meist von rechts nach links.

Wenn die Subtrahenden größer sind als die Minuenden, müssen Überträge gehandhabt werden. Das heißt, der Minuend wird, um die Subtraktion zu ermöglichen, um 10 erhöht; um dies auszugleichen, muss in der links benachbarten Spalte entweder der Minuend erniedrigt (Entbündelungsverfahren; Vorabberechnung der Überträge) oder der Subtrahend erhöht werden (Ergänzungsverfahren; Subtraktion von links nach rechts). Im deutschsprachigen Raum hat sich mit dem Ergänzungsverfahren die letztgenannte Vorgehensweise durchgesetzt. Im Jahr 2000 trat in einigen Bundesländern ein neuer Lehrplan in Kraft, der nun statt dem Ergänzen das Entbündeln als Standard vorschreibt.

Ergänzungsverfahren

Beim Ergänzungsverfahren, das auch Auffülltechnik oder (in den USA) Austrian method („Österreichische Methode“) genannt wird, wird keine Subtraktion vorgenommen, sondern der Subtrahend umgekehrt bis zum Minuenden erhöht. Falls dies nicht möglich ist, wird der Minuend um 10 erhöht. Die 10 wird nicht „geborgt“, sondern als 1 zum Subtrahenden der nächsten Teilberechnung addiert. Im deutschsprachigen Raum wird dieses Verfahren an den Grundschulen als Standardmethode gelehrt. Einer der Vorteile des Verfahrens besteht darin, dass es den Umgang mit Aufgaben vorbereitet, bei denen von einem Minuenden mehrere Subtrahenden abgezogen werden sollen.

Beispiel:

• 

  1 + … = 3

• 

  Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.

• 

  9 + … = 5
  Die angepeilte Summe (5) ist zu klein!

• 

  Sie wird darum um 10 erhöht. Die 1 wird unter den nächsten Subtrahenden geschrieben.

• 

  9 + … = 15
  Die Berechnung kann jetzt durchgeführt werden, das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.

• 

  (4 + 1) + … = 7

• 

  Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.

• 

  Das Gesamtergebnis.

Subtraktion von links nach rechts

Die Subtraktion kann auch von links nach rechts durchgeführt werden. Bei diesem ungewöhnlichen Verfahren, das eine Variante des Ergänzungsverfahren ist, werden die Überträge abgearbeitet, bevor die Differenz genau ausgerechnet wird. Da die Überträge weder notiert noch gemerkt werden müssen, ist die Methode nicht nur vergleichsweise resistent gegen Flüchtigkeitsfehler, sondern auch sehr schnell und sogar fürs Kopfrechnen geeignet.

Beispiel:

• 

  7 − 4 = 3
  Dieser Wert wird nur gemerkt, nicht notiert.

• 

  Da in der folgenden Spalte der Minuend kleiner ist als der Subtrahend, wird der soeben errechnete Wert um 1 erniedrigt.

• 

  15 − 9 = 6

• 

  Da in der folgenden Spalte der Minuend nicht kleiner ist als der Subtrahend, bleibt es bei diesem Wert.

• 

  3 − 1 = 2

Die einzige Schwachstelle dieser Methode zeigt sich bei Aufgaben, in denen in einer Spalte zwei Nullen stehen, und rechts daneben ein Minuend, der kleiner als der Subtrahend ist. In diesem Fall muss die bei diesem Verfahren routinemäßige „Vorausschau“ nicht nur die zwei Nullen, sondern auch die darauf folgende Spalte umfassen.

Entbündelungsverfahren

Abziehen mit „Entbündeln“ bedeutet, dass der zu kleine Minuend bei seinem linken Nachbarn eine „Anleihe“ macht. Der Minuend wird um 10 erhöht und der linke Nachbar um 1 erniedrigt. Das Verfahren wird an den Grundschulen z. B. der Vereinigten Staaten als Standardmethode gelehrt. Der reine Rechenaufwand ist ähnlich wie beim Ergänzungsverfahren; wenn von einer Null „geliehen“ werden muss, muss diese jedoch bei ihrem eigenen linken Nachbarn eine „Anleihe“ machen – eine Technik, die zusätzlich erlernt werden muss (beim Ergänzungsverfahren wird sie nicht gebraucht). Außerdem muss beim Entbündeln mehr geschrieben werden, was die Übersichtlichkeit vermindert und das Auftreten von Flüchtigkeitsfehlern begünstigt.

Beispiel:

• 

  3 − 1 = …

• 

  Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.

• 

  5 − 9 = …
  Der Minuend (5) ist zu klein!

• 

  Er wird darum um 10 erhöht. Diese 10 wird von der links daneben stehenden Ziffer (7) „geliehen“; diese wird um 1 erniedrigt.

• 

  15 − 9 = …
  Die Subtraktion kann jetzt durchgeführt werden. Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.

• 

  6 − 4 = …

• 

  Das Ergebnis wird unter den Strich geschrieben.

• 

  Das Gesamtergebnis.

Vorab-Entbündelung

Eine Variante des Entbündelungsverfahrens besteht darin, dass alle Stellen in einem ersten Arbeitsgang vollständig entbündelt werden, sodass für den zweiten Arbeitsgang, bei dem nur noch subtrahiert wird, hinreichend große Minuenden zur Verfügung stehen.^[1]

Beispiel:

• 

  1 − 3 = nicht möglich.
  Die 1 wird um 10 erhöht. Da die 10 bei der links benachbarten 5 „geliehen“ ist, muss diese um 1 erniedrigt werden.

• 

  4 − 9 = nicht möglich.
  Darum dieselbe Vorgehensweise wie in Schritt 1.

• 

  Abarbeitung der Stellen:
  11 − 3 = 8

• 

  14 − 9 = 5

• 

  6 − 4 = 2

Vertikale Subtraktion ohne Überträge

Teildifferenzen

Die Partial Differences-Methode unterscheidet sich von anderen vertikalen Subtraktionsmethoden dadurch, dass keine Überträge verwendet werden. An deren Stelle treten Teildifferenzen, die – je nachdem, ob in einer Spalte der Minuend oder der Subtrahend größer ist – ein Plus- oder ein Minuszeichen erhalten. Die Summe der Teildifferenzen ergibt die Gesamtdifferenz.^[2]

Beispiel:

• 

  Die kleinere Zahl wird von der größeren abgezogen:
  700 − 400 = 300
  Weil der Minuend größer ist als der Subtrahend, erhält die Differenz ein Pluszeichen.

• 

  Die kleinere Zahl wird von der größeren abgezogen:
  90 − 50 = 40
  Weil der Subtrahend größer ist als der Minuend, erhält die Differenz ein Minuszeichen.

• 

  Die kleinere Zahl wird von der größeren abgezogen:
  3 − 1 = 2
  Weil der Minuend größer ist als der Subtrahend, erhält die Differenz ein Pluszeichen.

• 

  + 300 − 40 + 2 = 262

Nicht-vertikale Verfahren

Ausschreiten der Differenz

Die Berechnung einer Differenz muss nicht Stelle für Stelle erfolgen. Meist umständlich, aber möglich ist es auch, den zwischen einem Subtrahenden und einem Minuenden liegenden Zahlenraum auszuschreiten.^[3]

Beispiel:

1234 − 567 = kann über folgende Schritte errechnet werden:

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

Um die Differenz zu ermitteln, werden die Werte der Einzelschritte addiert: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

Zergliederung des Subtrahenden

Eine weitere Vorgehensweise, die sich gleichermaßen für die schriftliche Subtraktion wie für das Kopfrechnen eignet, ist die Zergliederung des Subtrahenden, der in Einzelschritten vom Minuenden abgezogen wird.^[4]

Beispiel:

„1234 − 567 =“ kann über folgende Schritte errechnet werden:

• 1234 − 500 = 734
• 734 − 60 = 674
• 674 − 7 = 667

Gleiche Veränderung

Grundlage der Same change-Subtraktion ist die Beobachtung, dass eine Subtraktion einfach durchzuführen ist, wenn am Ende des Subtrahenden eine oder mehrere Nullen stehen. Der Subtrahend wird bei diesem Verfahren darum auf den nächstliegenden Zehner erhöht oder erniedrigt; da der Minuend um dieselbe Differenz erhöht oder erniedrigt wird, nimmt die Manipulation auf die Differenz keinen Einfluss. Wenn die Aufgabe danach immer noch zu schwer ist, kann die Operation wiederholt werden.^[5]

Beispiel:

„1234 − 567 =“ kann über folgende Schritte errechnet werden:

• 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

Weblinks

 Commons: Subtraction – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Beispiele für das Abziehen mit Entbündeln und Erweiterungstechnik (PDF-Datei; 39 kB)
• Äpfel – Freeware-Übungsprogramm zur schriftlichen Subtraktion

Einzelnachweise

1. ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Trade First
2. ↑ Partial-Differences Subtraction; The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Partial Differences
3. ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Counting Up
4. ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Left to Right Subtraction
5. ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Subtraction: Same Change Rule