Euler-Cauchy-Verfahren

Das eulersche Polygonzugverfahren oder explizite Euler-Verfahren (auch Euler-Cauchy-Verfahren) ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswertproblems.

Es wurde von Leonhard Euler 1768 in seinem Buch Institutiones Calculi Integralis vorgestellt. Cauchy benutzte es, um einige Eindeutigkeitsresultate für gewöhnliche Differentialgleichungen zu beweisen.

Das Verfahren

Zur numerischen Lösung des Anfangswert-Problems:

$\dot{x}=f(t,x), \quad \quad x(t_0)=x_0$

für eine gewöhnliche Differentialgleichung wähle man eine Diskretisierungs-Schrittweite h > 0, betrachte die diskreten Zeitpunkte

$t_k=t_0+kh, \quad \quad k=0,1,2,\dots$

und berechne die iterierten Werte

$x_{k+1}=x_k+hf(t_k,x_k),\quad k=1,2,\dots$

Die berechneten Werte x_k stellen Approximationen an die tatsächlichen Werte x(t_k) der exakten Lösung des Anfangswert-Problems dar. Je kleiner die Schrittweite h gewählt ist, desto mehr Rechenarbeit ist nötig, aber desto genauer werden auch die approximierten Werte.

Eine Modifikation des Verfahrens besteht hier darin, dass man die Schrittweite variabel wählt. Eine sinnvolle Veränderung der Schrittweite setzt einen Algorithmus zur Schrittweiten-Steuerung voraus, der den Fehler im aktuellen Schritt abschätzt und dann die Schrittweite für den nächsten Schritt dementsprechend wählt.

Wird ein Verfahren über x_{k + 1} = x_k + hf(t_{k + 1},x_{k + 1}) definiert, erhält man das implizite Euler-Verfahren.

Eigenschaften

Das explizite Euler-Verfahren hat Konsistenz- und Konvergenzordnung 1. Sein Stabilitätsgebiet ist der Kreis um -1 mit Radius 1 in der komplexen Zahlenebene.

Verallgemeinerungen

Es lässt sich im Wesentlichen durch zwei verschiedene Ideen auf effizientere Verfahren verallgemeinern.

• Die erste Idee ist, bei der Berechnung des nächsten Schrittes mehr als nur einen der zuvor berechneten Werte mit einzubeziehen. Auf diese Weise erhält man Verfahren höherer Ordnung in der Klasse der linearen Mehrschrittverfahren.

• Die zweite Idee ist, bei der Berechnung des nächsten Schrittes die Funktion f(t,x) auf dem Intervall [t_k,t_{k + 1}] an mehreren Stellen auszuwerten. Auf diese Weise erhält man die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren.

Die Klasse der allgemeinen linearen Verfahren bezieht beide Ideen der Verallgemeinerung mit ein und enthält die Klasse der linearen Mehrschrittverfahren sowie die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren als Spezialfall.

• Darüber hinaus gibt es auch eine Erweiterung des Euler-Verfahrens für stochastische Differentialgleichungen: das Euler-Maruyama-Verfahren.

Literatur

• E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, Springer Verlag
• M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9