Konsistenzordnung

Die Konsistenzordnung $p$ (auch Fehlerordnung) ist ein Begriff der numerischen Mathematik und bezeichnet ein Gütekriterium für numerische Verfahren zur approximativen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Siehe auch Konsistenz (Mathematik).

Numerische Lösung einer Differentialgleichung

Es sei $y'(t) = f (t, y)$ eine gewöhnliche Differentialgleichung, $y (t)$ bezeichne die exakte Lösung der Anfangswertaufgabe $y (t 0) = y 0$ an der Stelle t.

Ein numerisches Verfahren zur Lösung einer Differentialgleichung produziert eine Folge von Paaren $(t n, y n)$ aus Zeitpunkt und genähertem Wert in diesem Zeitpunkt. Einen allgemeinen Schritt eines numerischen Verfahrens kann man in der Form

$y_{n+1}=y_n+h_n\cdot \Phi_f(h_n,t_n,y_n)$

darstellen.

Fehlerterme

Die Konsistenzordnung ergibt sich als die Ordnung $\mathcal{O}(h^p)$ des lokalen Diskretisierungsfehlers $τ(t, y, f, h): = Δ(t, y, f, h) - Φ(t, y, f, h)$ eines einzelnen Schrittes von $(t, y) = (t 0, y 0)$ nach $(t + h, y + h Φ f)$ bzw. in der exakten Lösung nach $(t + h, y (t + h))$ . Dieser ist die Differenz aus

dem exakten Inkrement $Δ f (h, t, y) = (y (t + h) - y (t)) / h$ und
der Inkrementfunktion $Φ f (h, t, y)$ des numerischen Verfahrens.

Der Diskretisierungsfehler gibt den Steigungsfehler in einem Schritt an, der mit der Schrittweite verstärkt den lokalen Fehler in einem Schritt produziert. Der lokale Fehler ist dann natürlich eine Ordnung höher.

Von dieser lokalen Fehlerbestimmung und ihrer Ordnung wird zu einem nur vom Verfahren abhängigen Fehler übergegangen, indem die kleinste auftretende Ordnung über alle Paare (t,y) aus dem Definitionsbereich von f und ebenso alle Funktionen f bestimmt wird, vorausgesetzt, dass f hinreichend oft stetig differenzierbar ist. Man gewinnt die Konsistenzordnung durch Vergleich der Taylorentwicklungen von $Δ f$ und $Φ f$ um $(t, y)$ . Man gewinnt systematische Ausdrücke für beide Entwicklungen durch Aufstellen der zugehörigen Butcher-Bäume.

Die Konsistenzordnung eines Verfahrens ist im allgemeinen ungleich der Konvergenzordnung, da die Konsistenzordnung den lokalen Diskretisierungsfehler beschreibt und die Konvergenzordnung den globalen Diskretisierungsfehler.

Weblinks

Skript mit Erklärung und einigen Beispielen (ab Seite 198)
Tutorial Beschreibung der Konsistenzordnung anhand eines Beispiels

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