- Extensive Abbildung
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Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei
eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung
heißt extensiv, falls gilt:
für alle
.
Sie heißt intensiv, falls gilt:
für alle
.
Beispiele
- Auf
ist die Identität
extensiv und intensiv, da
immer gilt.
- Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.
Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser
Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung
bereits dann einen Fixpunkt, falls A streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.
Literatur
- Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
- H. Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.
- S. Lang: Algebra. Addison-Wesley, 1993.
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