Extensivität

Extensivität

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Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei (A,\leq) eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

f\colon\, A \to A

heißt extensiv, falls gilt:

a \leq f(a) für alle a \in A.

Sie heißt intensiv, falls gilt:

f(a) \leq a für alle a \in A.

Beispiele

  1. Auf (A,\leq) ist die Identität \operatorname{id}_A\colon\, a \mapsto a extensiv und intensiv, da a \leq a immer gilt.
  2. Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung f: A \rightarrow A bereits dann einen Fixpunkt, falls A streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

Literatur

  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8. 
  • H. Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8. 
  • S. Lang: Algebra. Addison-Wesley, 1993. 

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