- Akkretiver Operator
-
Dissipative Operatoren sind lineare Operatoren, die auf reellen oder komplexen Banachräumen definiert sind und gewisse Normabschätzungen erfüllen. Durch den Satz von Lumer-Phillips spielen sie eine wichtige Rolle bei der Betrachtung stark stetiger Halbgruppen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Seien X ein Banachraum und
. Ein linearer Operator
mit
für alle λ > 0 und
wird dissipativ genannt. Diese Bezeichnung geht auf Ralph Phillips zurück.
Ist A ein linearer Operator und − A dissipativ, so wird A akkretiv genannt. Diese Bezeichnung wurde von Tosio Kato und Kurt Friedrichs eingeführt.
Hilbertraum
Wenn X ein Hilbertraum ist, ist ein linearer Operator
genau dann dissipativ, falls
für alle
gilt, wobei
den Realteil bezeichnet.
Folgerungen
Sei (A,D(A)) ein dissipativer Operator auf einem Banachraum X.
- λ − A ist für ein λ > 0 surjektiv genau dann, wenn λ − A für alle λ > 0 surjektiv ist.
- A ist abgeschlossen genau dann, wenn das Bild von λ − A für ein λ > 0 abgeschlossen ist.
Beispiel
Betrachtet man auf einem beschränkten Gebiet
den Laplace-Operator Δ mit Dirichlet-Randbedingung auf L2(Ω) (siehe Lp-Raum), also
, erhält man:
.
Wikimedia Foundation.