Satz von Lumer-Phillips

Satz von Lumer-Phillips

Der Satz von Lumer-Phillips ist ein Resultat aus der Theorie der stark stetigen Halbgruppen und charakterisiert Kontraktionshalbgruppen:

Seien X ein Banachraum und (A,D(A)) ein in X dicht definierter, dissipativer Operator. Dann erzeugt der Abschluss \overline A von A eine Kontraktionshalbgruppe, also \|e^{tA}\|\leq 1 für alle t \ge 0, genau dann, wenn für ein λ > 0 das Bild von λ − A dicht in X liegt.

Der Satz wurde 1961 von Günter Lumer und Ralph Phillips bewiesen und gehört mit dem Satz von Hille-Yosida zu den wichtigsten Sätzen aus dem Bereich der stark stetigen Halbgruppen. Im Gegensatz zum Satz von Hille-Yosida werden aber keine Abschätzungen für die Resolvente benötigt, so dass die Anwendung des Satzes von Lumer-Phillips im Falle eines konkreten Operators sich häufig einfacher gestaltet als die Anwendung des Satzes von Hille-Yosida.

Folgerungen

  • Sei (A,D(A)) ein dicht definierter Operator auf einem Banachraum X. Sind sowohl A als auch die Adjungierte A * dissipativ, erzeugt der Abschluss von A eine Kontraktionshalbgruppe.
  • Ist (A,D(A)) ein dissipativer Operator auf einem reflexiven Banachraum X und liegt das Bild von λ − A dicht in X, dann ist der Definitionsbereich vom Abschluss \overline A von A dicht in X. Aus dem Satz von Lumer-Phillips folgt, dass \overline A eine Kontraktionshalbgruppe erzeugt.

Beispiel

Literatur

  • Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-90845-5.
  • Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-Parameter Semigroups for linear Evolution Equations. Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag 2000, ISBN 0-387-98463-1.

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