- Satz von Lumer-Phillips
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Der Satz von Lumer-Phillips ist ein Resultat aus der Theorie der stark stetigen Halbgruppen und charakterisiert Kontraktionshalbgruppen:
Seien X ein Banachraum und (A,D(A)) ein in X dicht definierter, dissipativer Operator. Dann erzeugt der Abschluss von A eine Kontraktionshalbgruppe, also für alle , genau dann, wenn für ein λ > 0 das Bild von λ − A dicht in X liegt.
Der Satz wurde 1961 von Günter Lumer und Ralph Phillips bewiesen und gehört mit dem Satz von Hille-Yosida zu den wichtigsten Sätzen aus dem Bereich der stark stetigen Halbgruppen. Im Gegensatz zum Satz von Hille-Yosida werden aber keine Abschätzungen für die Resolvente benötigt, so dass die Anwendung des Satzes von Lumer-Phillips im Falle eines konkreten Operators sich häufig einfacher gestaltet als die Anwendung des Satzes von Hille-Yosida.
Folgerungen
- Sei (A,D(A)) ein dicht definierter Operator auf einem Banachraum X. Sind sowohl A als auch die Adjungierte A * dissipativ, erzeugt der Abschluss von A eine Kontraktionshalbgruppe.
- Ist (A,D(A)) ein dissipativer Operator auf einem reflexiven Banachraum X und liegt das Bild von λ − A dicht in X, dann ist der Definitionsbereich vom Abschluss von A dicht in X. Aus dem Satz von Lumer-Phillips folgt, dass eine Kontraktionshalbgruppe erzeugt.
Beispiel
- Betrachtet man auf (siehe Lp-Raum) den Laplace-Operator Au: = u'' mit Dirichlet-Randbedingung, also , so ist invertierbar. Außerdem folgt aus der partiellen Integration . Somit erzeugt A eine Kontraktionshalbgruppe.
Literatur
- Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-90845-5.
- Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-Parameter Semigroups for linear Evolution Equations. Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag 2000, ISBN 0-387-98463-1.
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