Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)

Als Faustformelverfahren werden in der Automatisierungstechnik bzw. in der Regelungstechnik heuristische Methoden zur Dimensionierung eines Reglers bezeichnet, die ohne mathematisches Modell der Regelstrecke auskommen. Anstatt der Modellbildung müssen in der Regel Experimente an der zu regelnden Anlage vorgenommen werden.

Methode von Ziegler und Nichols

Die Methode von Ziegler und Nichols ist ein heuristisches Verfahren zur Bestimmung von Reglerparametern.^[1] Der resultierende Regler kann ein P-, PI- oder PID-Regler sein.

Die Methode ist daher nur für existierende Anlagen geeignet, die stabil sind oder an denen instabiles Verhalten keine Schäden verursachen kann. Sie eignet sich daher nicht zum Einsatz in der Projektierungsphase einer Anlage.

Gültigkeitsbereich

Die Reglereinstellungen nach Ziegler-Nichols sind für stark verzögernde Prozesse, wie sie z. B. in verfahrenstechnischen Prozessen auftreten, vorgesehen. Charakteristisch für solche Prozesse ist der Wendepunkt in der Sprungantwort. Bei Einstellung des Reglers nach diesem Verfahren wird ein leicht schwingendes Führungsverhalten (schlechter als beim Reglerentwurf nach dem Betragsoptimum) aber ein gutes Störverhalten erreicht. Es eignet sich deshalb vor allem für Prozesse, bei denen überwiegend Störungen ausgeregelt werden sollen.

Verfahren

Das Verfahren steht in zwei Varianten zur Verfügung. In der ersten Variante (auch: Einstellung auf den Stabilitätsrand) wird keine Annahme bezüglich des Übertragungsverhaltens der Regelstrecke getroffen. Der Regelkreis wird mit Hilfe eines proportionalen Reglers geschlossen und die Reglerverstärkung solange erhöht, bis der Ausgang des Regelkreises bei konstantem Eingang eine Dauerschwingung mit der Periode T_krit bei der Reglerverstärkung K_p,krit ausführt.

In der zweiten Variante (auch: zweite Einstellregel nach Ziegler/Nichols) wird die Regelstrecke als Übertragungsglied erster Ordnung mit Totzeit (PT1T_t-Glied) approximiert. Es müssen dessen statische Verstärkung K_s, die Zeitkonstante T sowie die Totzeit T_t bekannt sein und ggf. experimentell durch die Sprungantwort (siehe Bild, Sprungantwort) ermittelt werden. Es gilt näherungsweise mit den Werten aus der Sprungantwort T = T_g und T_t = T_u.

Die Einstellregeln für die Verstärkung K_p, die Nachstellzeit T_n und die Vorhaltzeit T_v lauten für beide Verfahren wie in folgender Tabelle angegeben:

Voraussetzung	Regler	Reglerparameter
Kritische Verstärkung und Periodendauer bekannt	P	$K_p = 0.5 \cdot K_{p,krit}$
	PI	$K_p = 0.45 \cdot K_{p,krit}, T_n = 0.85 \cdot T_{\mathrm{krit}}$
	PD	$K_p = 0.55 \cdot K_{p,krit}, T_v = 0.15 \cdot T_{\mathrm{krit}}$
	PID	$K_p = 0.6 \cdot K_{p,krit}, T_n= 0.5 \cdot T_{\mathrm{krit}}, T_v = 0.125 \cdot T_{\mathrm{krit}}$
Approximation der Strecke durch PT1Tt-Glied	P	$K_p = 1/K_s \cdot T/T_t$
	PI	$K_p = 0.9/K_s \cdot T/T_t, T_n = 3.33 \cdot T_t$
	PID	$K_p = 1.2/K_s \cdot T/T_t, T_n = 2 \cdot T_t, T_v = 0.5 \cdot T_t$

Einschränkung

Ein Erzielen einer Schwingung an der Stabilitätsgrenze wie oben beschrieben kann jedoch nur dort durchgeführt werden, wo ein Ausscheren des realen Systems in den instabilen Bereich keine schädlichen Folgen hat. Ein instabiler Tempomat am Auto würde abwechselnd Vollgas geben und kein Gas geben, was vielleicht noch in geeigneter Umgebung durchführbar wäre, bei einem Autopiloten eines Passagierflugzeugs wären die Folgen sicherlich nicht tragbar.

Einstellregeln nach Chien, Hrones und Reswick

Die Einstellregeln nach Chien, Hrones und Reswick sind eine 1952 entwickelte Vorgehensweise zur günstigen Einstellung von Reglern. Sie gelten als eine Weiterentwicklung der zweiten Methode von Ziegler und Nichols. Vorteilhaft ist, dass die Regelparameter getrennt sind für ein günstiges Stör- und Führungsverhalten. Sie sind ebenso unterteilt für aperiodische oder periodische Regelungen.^{[2] [3]}

Gültigkeitsbereich

Die Regeln gelten für Strecken höherer Ordnung, von denen die Parameter: statische Verstärkung K_s, Verzugszeit T_u und Ausgleichszeit T_g bekannt sein müssen.

Verfahren

Die Einstellregeln für die Verstärkung K_p, die Nachstellzeit T_n und die Vorhaltzeit T_v lauten wie in folgender Tabelle angegeben.

Regler		Aperiodischer Regelverlauf		Regelverlauf mit 20% Überschwingen
		Störung	Führung	Störung	Führung
P	Kp	$0.3\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$	$0.3\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$	$0.7\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$	$0.7\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$
PI	Kp	$0.6\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$	$0.35\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$	$0.7\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$	$0.6\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$
	Tn	$4 \cdot T_u$	$1.2 \cdot T_g$	$2.3 \cdot T_u$	$1 \cdot T_g$
PID	Kp	$0.95\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$	$0.6\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$	$1.2\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$	$0.95\cdot \frac{T_g}{T_u\cdot K_s}$
	Tn	$2.4 \cdot T_u$	$1 \cdot T_g$	$2 \cdot T_u$	$1.35 \cdot T_g$
	Tv	$0.42 \cdot T_u$	$0.5 \cdot T_u$	$0.42 \cdot T_u$	$0.47 \cdot T_u$

Sprungantwort einer Regelstrecke mit Wendetangente zur Bestimmung von Tu und Tg.

Einschränkung

Es gelten die gleichen Einschränkungen wie bei der Methode von Ziegler und Nichols. Zur Bestimmung der Strecken-Kennwerte müssen Experimente am ungeregelten Prozess durchführbar sein, ohne dass dieser dadurch beschädigt wird.

T-Summen-Regel

Diese Regel gilt für Strecken mit Tiefpassverhalten, die eine S-förmige Sprungantwort aufweisen. Sie sind durch die Übertragungsfunktion

$G(s) = K_S \frac{(1+T_{D,1}s)(1+T_{D,2}s)\ldots(1+T_{D,m}s)}{(1+T_1s)(1+T_2s)\ldots(1+T_ns)}e^{-sT_t}$

beschrieben sind, wird die Summenzeitkonstante T_Σ als Summe aller verzögernden Zeitkonstanten abzüglich aller differenzierenden Zeitkonstanten gebildet:^[4]

$T_\Sigma = T_1 + T_2 + \ldots + T_n - T_{D,1} - T_{D,2} - \ldots - T_{D,m} + T_t.$

Die Summenzeitkonstante kann auch direkt aus der experimentell ermittelten Übergangsfunktion ermittelt werden. Es gilt

$T_\Sigma = \int_0^\infty (1 - \frac{y(t)}{K_S})dt$

mit $y(t)\;$ Sprungantwortfunktion der Regelstrecke.

Für die Reglereinstellungen gilt dann folgendes:

• PI-Regler: $K_P= 0,5/K_S,\; T_N = 0,5T_\Sigma$
• PID-Regler: $K_P= 1/K_S,\; T_N = 0,66T_\Sigma,\; T_V = 0,167T_\Sigma$

oder für schnelleren Regelverlauf:

• PI-Regler: $K_P= 1/K_S,\; T_N = 0,7T_\Sigma$
• PID-Regler: $K_P= 2/K_S,\; T_N = 0,8T_\Sigma,\; T_V = 0,194T_\Sigma$

Vergleich der Verfahren

Vergleich der Faustformeln anhand einer Beispiel-Regelstrecke

Mit einem Scilabscript wurden folgende Parameter für die Modell-Regelstrecke ermittelt:

==========================================================
Parameter der Regelstrecke
T1=2.400000 T2=1.200000 T3=0.600000 T4=0.100000
                    1
   -----------------------------------
                   2        3         4
   1 + 4.3s + 5.46s + 2.232s + 0.1728s
Tu=1.030072 Tg=5.183502 Tg/Tu=5.032175 TSum=4.348428
==========================================================
Ziegler-Nichols
KR=6.038610 Tn=2.060144 Tv=0.515036
==========================================================
Chien/Hrones/Reswick (aperiodisch)
KR=3.019305 Tn=5.183502 Tv=0.515036
==========================================================
Chien/Hrones/Reswick (überschwingen)
KR=4.780567 Tn=6.997728 Tv=0.484134
==========================================================
T-Summe
KR=1.000000 Tn=2.900402 Tv=0.726187
==========================================================
T-Summe (schnell)
KR=2.000000 Tn=3.478742 Tv=0.847943
==========================================================

Empirische Dimensionierung

In der industriellen Praxis werden Regelkreise häufig ohne Verwendung eines jeglichen Modelles durch Ausprobieren von Reglereinstellungen realisiert. Dabei werden zumeist Proportional-Integral-Differential-Regler (PID-Regler) verwendet. Die Parameter für den Proportional-, Integral- und Differentialanteil werden nach praktischen Erfahrungswerten vorgewählt und dann variiert.^[5]

Unterschiedliche Regelgrößenverläufe (Istwerte) nach einem Stellgrößensprung bei verschiedenen Reglereinstellungen.

Anhand der Istwertverläufe kann der Regelkreis nachoptimiert werden:

• Violett: Istwert nähert sich nur langsam dem Sollwert.
  Einstellregel: Proportionalanteil erhöhen. Falls dies zu einer Verbesserung führt, anschließend Integrationszeit verkleinern. Dieses wiederholen bis ein zufriedenstellendes Reglerergebnis erreicht ist.
• Blau: Istwert nähert sich mit leichten Schwingungen nur langsam dem Sollwert.
  Einstellregel: Proportionalanteil erhöhen. Falls dies zu einer Verbesserung führt, anschließend Vorhaltzeit (Differenzierzeit) verkleinern. Dieses wiederholen bis ein zufriedenstellendes Reglerergebnis erreicht ist.
• Hellblau: Istwert nähert sich dem Sollwert ohne wesentlich überzuschwingen.
  Optimales Reglerverhalten für Prozesse, die kein Überschwingen zulassen.
• Grün: Istwert nähert sich dem Sollwert mit leichtem gedämpften Überschwingen.
  Optimales Reglerverhalten für schnelles Anregeln und zum Ausregeln von Störanteilen.
  Einstellregel: Das erste Überschwingen soll 10% des Sollwertsprungs nicht überschreiten.
• Rot: Istwert nähert sich schnell dem Sollwert, schwingt aber weit über. Die Schwingungen sind gedämpft und damit gerade noch stabil
  Einstellregel: Proportionalanteil vermindern. Falls dies zu einer Verbesserung führt, anschließend Integrationszeit vergrößern. Dieses wiederholen bis ein zufriedenstellendes Reglerergebnis erreicht ist.

Weitere praktische Aspekte der Regelungstechnik sind der Literatur zu entnehmen.

Literatur

• Jan Lunze: Regelungstechnik, Springer Verlag, Bd. 1 (2005) ISBN 3-540-28326-9, Bd. 2 (2006) ISBN 3-540-32335-X
• Heinz Unbehauen: Regelungstechnik, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, Bd. 1 (2005) ISBN 3-528-93332-1, Bd. 2 (2000) ISBN 3-52873348-9
• Manfred Schleicher: Regelungstechnik für den Praktiker (2006), Fa. JUMO GmbH & Co, ISBN 3-935742-00-2
• Berthold Heinrich [Hrsg.]: Messen, Steuern, Regeln (2005), Vieweg Verlag, Wiesbaden, ISBN 3-8348-0006-6

Quellen

1. ↑ Ziegler, J. G.; Nichols, N. B.: Optimum settings for automatic controllers, Trans. ASME, 64 (1942), pp. 759-768
2. ↑ Kun Li Chien, J. A. Hrones, J. B. Reswick: On the Automatic Control of Generalized Passive Systems., In: Transactions of the American Society of Mechanical Engineers., Bd. 74, Cambridge (Mass.), USA, Feb. 1952, S. 175-185
3. ↑ Manfred Reuter, Serge Zacher: Regelungstechnik für Ingenieure, Vieweg Verlag, 11. Auflage (2004), ISBN 3-528-05004-7
4. ↑ Udo Kuhn: Eine praxisnahe Einstellregel für PID-Regler: Die T-Summen-Regel, Automatisierungstechnische Praxis, Nr. 5, 1995, S. 10-16
5. ↑ Jürgen Müller: Regeln mit SIMATIC, Publicis Corporate Publishing, Erlangen (2004), ISBN 3-89578-248-3