Fehlerschranke

Fehlerschranke

Fehlerschranken, auch Fehlergrenzen genannt, finden in der Fehlerrechnung, in der Messtechnik sowie in der Numerik Verwendung. Eine Fehlerschranke wird mit dem griechischen Buchstaben \epsilon (Epsilon) angegeben und definiert eine vereinbarte oder garantierte, zugelassene äußerste Abweichung von einem Sollwert. Eine Fehlerschranke kann mit einem Toleranzwert gleichgesetzt werden.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei x ein exakter Wert (Sollwert) und \tilde x ein Näherungswert des exakten Wertes. Man schreibt auch \tilde x \approx x.

 \Delta_x=\left | x-\tilde x \right | heißt (absoluter) Fehler.
\delta_x=\frac{ \Delta_x }{\left | x \right |} heißt im Falle x \not= 0 (relativer) Fehler.

Wenn \Delta_x \le \epsilon ist, so heißt \epsilon absolute Fehlerschranke.

Wenn \frac {\epsilon }{\mid x \mid} \le \rho gilt, so heißt ρ relative Fehlerschranke.

Bemerkung

  1. Im Allgemeinen ist der Sollwert nicht bekannt, sondern nur der Näherungswert, welcher z.B. in der Messtechnik durch eine Messung gewonnen wird.
  2. Da die relative Fehlerschranke dimensionslos ist, d.h. sie kann keiner Einheit zugeordnet werden, kann sie in Prozent angegeben werden. Wenn zum Beispiel der Messwert einer Messung nur um 1% vom Sollwert abweichen darf, so ist ρ = 0,01.

Anwendung

Messtechnik

Die Fehlerschranke ist in der Messtechnik von größter Bedeutung. Es ist nicht möglich eine hundertprozentig genaue Messung durchzuführen. Eine Messung ist grundsätzlich mit einer Messabweichung behaftet. Die Fehlerschranke gibt hier die tolerierte Messabweichung an.

Numerik

Beim Rechnen mit Gleitkommazahlen treten unweigerlich Rundungsfehler auf, da die Anzahl der Stellen (Größe der Mantisse) begrenzt ist. Müssen im Rahmen eines Algorithmus oder einer Rechenvorschrift zwei Gleitkommazahlen miteinander verglichen werden, so sollte die Fehlerschranke bei dem Vergleich berücksichtigt werden. Insbesondere bei numerischen Verfahren die gegen einem bestimmten Wert konvergieren, ist die Verwendung einer Fehlerschranke unabdingbar, da aufgrund der begrenzten Anzahl von Stellen einer Gleitkommazahl der Wert in der Regel nie den Sollwert exakt erreichen wird.

Literatur

  • Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd.3, Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehlerrechnung und Ausgleichsrechnung, Vieweg Verlag, ISBN 3-528-14937-X
  • Gisela Engeln-Müllges, Fritz Reutter: Numerik-Algorithmen. Entscheidungshilfe zur Auswahl und Nutzung, Springer Verlag, ISBN 3-18-401539-4
  • Gisela Engeln-Müllges, Fritz Reutter: Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit C-Programmen, Springer Verlag, ISBN 3-411-03112-3
  • Reinhard Lerch: Elektrische Messtechnik. Analoge, digitale und computergestützte Verfahren, Springer Verlag, ISBN 3-540-73610-7

Weblinks


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