Formeln von Gauß (Differentialgeometrie)

Die Formeln von Gauß (Formeln von Gauß und Christoffel) sind Formeln aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen Raum ($\mathbb{R}^3$), einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie. Sie ermöglichen es, für eine gegebene Fläche bei bekannter erster Fundamentalform die Christoffelsymbole zweiter Art ($\Gamma^i_{jk}$) auszurechnen.

E, F und G seien die Koeffizienten der ersten Fundamentalform der gegebenen Fläche. g = EG − F² sei die Diskriminante dieser Fundamentalform. Mit E_u usw. seien die ersten partiellen Ableitungen der Koeffizienten nach den Parametern bezeichnet. Dann gelten folgende Beziehungen:

$\Gamma^1_{11} = \frac{1}{2g} (G E_u - 2 F F_u + F E_v)$

$\Gamma^1_{12} = \Gamma^1_{21} = \frac{1}{2g} (G E_v - F G_u)$

$\Gamma^1_{22} = \frac{1}{2g} (-F G_v + 2 G F_v - G G_u)$

$\Gamma^2_{11} = \frac{1}{2g} (-F E_u + 2 E F_u - E E_v)$

$\Gamma^2_{12} = \Gamma^2_{21} = \frac{1}{2g} (E G_u - F E_v)$

$\Gamma^2_{22} = \frac{1}{2g} (E G_v - 2 F F_v + F G_u)$