- Fröhliche Zahl
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Eine fröhliche Zahl ist eine natürliche Zahl, die als Ausgangswert für eine bestimmte Iterationsvorschrift nach endlich vielen Iterationsschritten zu dem Zahlenwert 1 führt, ähnlich dem Collatz-Problem.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Bei einer natürlichen Zahl n mit der Dezimaldarstellung , wobei und , werden die einzelnen Ziffern ai quadriert und addiert, d. h. es wird berechnet. Die daraus resultierende Zahl wird genauso behandelt. Ergibt sich irgendwann als Ergebnis eine 1, dann haben alle folgenden Zahlen ebenfalls diesen Wert, und die Zahl wird als fröhlich bezeichnet. Die einzige Alternative ist der Übergang in den einzigen, acht Zahlen umfassenden, periodischen Zyklus (4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4). Weitere Zyklen existieren nicht.
Beispiele für fröhliche Zahlen
Eine Zahl in einer Folge ist nur dann fröhlich, wenn alle Zahlen in der Folge fröhlich sind.
Die ersten 20 fröhlichen Zahlen sind:
- 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, … (Folge A007770 in OEIS).
Beispiel für traurige (nichtfröhliche) Zahlen
Fröhliche Primzahlen
Primzahlen, die fröhlich sind, nennt man fröhliche Primzahlen
Die 91 ist eine fröhliche Pseudoprimzahl. Die Carmichael-Zahl 1729 ist das Produkt der ersten drei fröhlichen Primzahlen.
Siehe auch
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Fröhliche Zahl. In: MathWorld. (englisch)
- Walter Schneider: Happy Numbers, Mathews, 2002 im Internet Archive
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